Để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật, chúng ta có nhiều phương pháp khác nhau. Dưới đây là tổng hợp các cách hiệu quả và chi tiết nhất, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để bạn nắm vững kiến thức.
A. Các Phương Pháp Chứng Minh Hình Chữ Nhật
Có ba cách chính để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật:
-
Cách 1: Chứng minh tứ giác có ba góc vuông. Đây là cách đơn giản và trực quan nhất. Nếu bạn xác định được ba góc của tứ giác đều là góc 90 độ, tứ giác đó chắc chắn là hình chữ nhật.
-
Cách 2: Chứng minh tứ giác là hình thang cân có một góc vuông. Hình thang cân đã có hai cạnh đáy song song và hai cạnh bên bằng nhau. Nếu thêm điều kiện một góc vuông, nó sẽ trở thành hình chữ nhật.
-
Cách 3: Chứng minh tứ giác là hình bình hành có một góc vuông hoặc hai đường chéo bằng nhau. Hình bình hành có các cạnh đối song song và bằng nhau. Nếu nó có thêm một góc vuông, hoặc nếu hai đường chéo của nó bằng nhau, nó sẽ trở thành hình chữ nhật.
B. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của các góc A, B, C, D cắt nhau tại E, F, G, H. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật.
Hình ảnh minh họa hình bình hành ABCD với các đường phân giác cắt nhau tại E, F, G, H, tạo thành hình chữ nhật EFGH bên trong.
Giải:
Đặt ∠EAB = ∠BAF, ∠EBA = ∠ABC, ∠GCB = ∠BCG, ∠GDC = ∠CDH, ∠HDA = ∠DAH.
Áp dụng tính chất góc trong cùng phía vào AB//CD, ta được: ∠A + ∠D = 180°.
Do đó: ∠EAB + ∠HDA = (∠A + ∠D)/2 = 90°.
Áp dụng tính chất về góc vào ΔADE, ta được: ∠AED = 180° – (∠EAB + ∠HDA) = 180° – 90° = 90°, hay ∠HEF = 90° (đối đỉnh).
Chứng minh tương tự ta được ∠EFG = ∠FGH = ∠GHE = 90°.
Tứ giác EFGH có bốn góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
Ví dụ 2: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
Hình ảnh minh họa tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc, E, F, G, H là trung điểm các cạnh, tạo thành hình chữ nhật EFGH bên trong.
Giải:
Tứ giác EFGH là hình chữ nhật.
Giải thích: EF, GH thứ tự là đường trung bình của các tam giác ABC và ADC.
Áp dụng định lí đường trung bình vào hai tam giác này ta được: EF // AC và EF = AC/2, GH // AC và GH = AC/2. Suy ra EF // GH và EF = GH. (1)
Chứng minh tương tự, ta cũng được EH//FG//BD. (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EFGH có các cạnh đối song song nên nó là hình bình hành.
Gọi O là giao điểm của AC với BD và I là giao điểm của EF với BD
Áp dụng tính chất góc đồng vị vào các đường thẳng song song ở trên và giả thiết ta có: ∠EIO = ∠DOB = 90°.
Như vậy hình bình hành EFGH có một góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
Ví dụ 3: Một đội công nhân đang trồng cây trên đoạn đường AB thì gặp chướng ngại vật che lấp tầm nhìn. Đội đã dựng các điểm C, D, E như trên hình vẽ rồi trồng cây tiếp trên đoạn đường EF vuông góc với DE. Vì sao AB và EF cùng nằm trên một đường thẳng?
Hình ảnh minh họa tình huống thực tế, đoạn đường AB bị chắn, công nhân sử dụng hình chữ nhật để xác định đoạn EF thẳng hàng với AB.
Giải:
Theo hình, tứ giác BCDE có BC = ED và BC//ED vì cùng vuông góc với CD. Tứ giác BCDE có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành. Hình bình hành BCDE lại có góc C vuông nên là hình chữ nhật.
Do đó ∠CBE = 90° suy ra A, B, E thẳng hàng và B, E, F cũng thẳng hàng. Vậy AB, EF cùng nằm trên một đường thẳng.
C. Bài Tập Vận Dụng
Câu 1. Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
a) Tứ giác có tất cả các góc bằng nhau là hình chữ nhật.
b) Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
c) Hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
d) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải:
Các câu đúng là a), d). Các câu sai là b), c).
Đáp án: B.
Câu 2. Hãy chọn câu sai. Hình chữ nhật có
A. Bốn góc vuông.
B. Hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường.
C. Hai đường chéo vuông góc với nhau.
D. Các cạnh đối bằng nhau.
Lời giải:
Từ định nghĩa và tính chất hình chữ nhật ta có A, B, D đúng và C sai.
Đáp án: C.
Câu 3. Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng với H qua I. Tứ giác AECH là hình gì?
A. Hình chữ nhật.
B. Hình bình hành.
C. Hình thang cân.
D. Hình thang vuông.
Lời giải:
Hình ảnh minh họa tam giác ABC có đường cao AH, điểm E đối xứng với H qua trung điểm I của AC, tạo thành hình chữ nhật AECH.
Xét tứ giác AECH có: I là trung điểm của AC (gt); I là trung điểm của HE (do H và E đối xứng nhau qua I)
Do đó AECH là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
Lại có ∠AHC = 90°, nên AECH là hình chữ nhật.
Đáp án: A.
Câu 4. Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b (a > b). Các phân giác trong của các góc A, B, C, D tạo thành tứ giác MNPQ. Tứ giác MNPQ là hình gì?
A. Hình chữ nhật.
B. Hình bình hành.
C. Hình thang cân.
D. Hình thang vuông.
Lời giải:
Hình ảnh minh họa hình bình hành ABCD với các đường phân giác trong cắt nhau tại M, N, P, Q, tạo thành hình chữ nhật MNPQ bên trong.
Ta có ∠A + ∠B = 180° (do ABCD là hình bình hành)
Nên (∠A + ∠B)/2 = 90° (định lý tổng ba góc trong tam giác).
Nên ∠MAB + ∠MBA = 90°. Suy ra ∠AMB = 90°.
Tương tự: ∠NPQ = 90°.
Xét tứ giác MNPQ có ∠AMB = ∠NPQ = 90°, do đó tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Đáp án: A.
Câu 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc cạnh huyền BC. Gọi D, E lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Tứ giác ADME là hình gì?
A. Hình thang.
B. Hình chữ nhật.
C. Hình bình hành.
D. Hình vuông.
Lời giải:
Hình ảnh minh họa tam giác ABC vuông tại A, điểm M trên cạnh huyền BC, D và E là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống AB và AC, tạo thành hình chữ nhật ADME.
Xét tứ giác ADME có ∠DAE = ∠MDA = ∠MEA = 90° nên ADME là hình chữ nhật.
Đáp án: B.
D. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì?
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Trên các cạnh AC, BC lấy lần lượt các điểm P, Q sao cho AP = CQ. Từ điểm P vẽ PM song song với BC (M Î AB). Chứng minh tứ giác PCQM là hình chữ nhật.
