Đường tròn nội tiếp tam giác là một khái niệm quan trọng trong hình học. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về định nghĩa, các tính chất liên quan và Cách Chứng Minh đường Tròn Nội Tiếp Tam Giác, kèm theo các ví dụ minh họa dễ hiểu.
Đường Tròn Nội Tiếp Tam Giác Là Gì?
Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác đó. Ta còn nói rằng tam giác ngoại tiếp đường tròn.
Hình ảnh minh họa đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với tâm O và các tiếp điểm E, F, G trên ba cạnh. Các đoạn OE, OF, OG là bán kính và vuông góc với các cạnh tương ứng.
Khi đó, nếu gọi O là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC, và kẻ các đường vuông góc OE, OF, OG lần lượt xuống các cạnh BC, CA, AB thì ta có: OE = OF = OG và độ dài này chính là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Tính Chất Quan Trọng Của Đường Tròn Nội Tiếp Tam Giác
- Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác đó. Điều này có nghĩa là, để xác định tâm của đường tròn nội tiếp, ta chỉ cần vẽ hai đường phân giác bất kỳ của tam giác, giao điểm của chúng sẽ là tâm đường tròn cần tìm.
Hình ảnh minh họa tâm O của đường tròn nội tiếp là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác.
- Trong tam giác đều, tâm của đường tròn nội tiếp và tâm của đường tròn ngoại tiếp trùng nhau. Điều này có nghĩa là một điểm duy nhất vừa là tâm của đường tròn nội tiếp, vừa là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều.
Hình ảnh minh họa đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều có chung tâm.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 6cm. Hãy xác định tâm và bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Hướng dẫn:
Hình ảnh minh họa tam giác đều ABC với đường tròn nội tiếp và các đường trung tuyến.
Gọi D, E lần lượt là trung điểm của cạnh BC, AB và giả sử AD giao với CE tại O. Vì tam giác ABC đều, đường trung tuyến cũng đồng thời là đường cao, đường phân giác và đường trung trực của tam giác. Suy ra, O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Tam giác ABC có CE là đường trung tuyến nên CE cũng là đường cao. Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AEC, ta có:
$AC^2 = AE^2 + CE^2$
$6^2 = 3^2 + CE^2$
$CE^2 = 36 – 9 = 27$
$CE = sqrt{27} = 3sqrt{3}$ cm
Hình ảnh minh họa công thức tính cạnh CE trong tam giác vuông AEC sử dụng định lý Pytago.
Vì O là trọng tâm của tam giác ABC nên: $OC = frac{2}{3}CE = frac{2}{3} cdot 3sqrt{3} = 2sqrt{3}$ cm và $OE = frac{1}{3}CE = sqrt{3}$ cm.
Hình ảnh minh họa công thức tính OE, bán kính đường tròn nội tiếp, dựa trên tỉ lệ của trọng tâm.
Vậy tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là trọng tâm O và bán kính là $OE = sqrt{3}$ cm.
Hình ảnh thể hiện kết quả cuối cùng của việc tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A với AB = AC = 2cm. Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC?
Hướng dẫn:
Hình ảnh minh họa tam giác vuông cân ABC và đường tròn nội tiếp với tâm O, cùng các đường phân giác AD và CO.
Kẻ AD, CO lần lượt là phân giác của $angle BAC$ và $angle ACB$. Khi đó, O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Kẻ $OE perp AC$.
Hình ảnh mô tả đường phân giác góc A và góc C cắt nhau tại tâm O của đường tròn nội tiếp.
Hình ảnh thể hiện đường phân giác góc C và đường cao OE từ tâm O đến cạnh AC.
Kẻ $OE perp AC$. Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABC, ta có:
Hình ảnh minh họa đường cao OE vuông góc với cạnh AC tại điểm E.
$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 2^2 + 2^2 = 8$
$BC = sqrt{8} = 2sqrt{2}$ cm
Hình ảnh minh họa công thức tính cạnh huyền BC trong tam giác vuông cân ABC.
Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AD cũng là đường trung tuyến và đường cao của tam giác ABC. Xét tam giác ODC và tam giác OEC có:
Hình ảnh liệt kê các yếu tố bằng nhau trong tam giác ODC và OEC, chuẩn bị cho việc chứng minh hai tam giác này bằng nhau.
$angle OCD = angle OCE$ (vì CO là phân giác góc C)
Hình ảnh chỉ ra sự bằng nhau của các góc OCD và OCE do CO là đường phân giác.
OC là cạnh chung. OE = OD (bán kính đường tròn nội tiếp)
Vì AD là đường phân giác của góc A nên $angle OAE = 45^circ$
Hình ảnh minh họa góc OAE bằng 45 độ do AD là đường phân giác của góc vuông A.
Tam giác OEA vuông tại E có $angle OAE = 45^circ$ nên tam giác OEA vuông cân tại E.
Hình ảnh thể hiện tam giác OEA vuông cân tại E, suy ra OE = AE.
Vậy OE = AE = x. Khi đó, AO = x√2. Mà AO + OC = AD = 2. Từ đó tìm ra x.
Vậy tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là điểm O (giao điểm của hai đường phân giác) và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là $2 – sqrt{2}$ cm.
Hình ảnh trình bày kết quả tính toán bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông cân.
Hình ảnh thể hiện giá trị cụ thể của bán kính đường tròn nội tiếp.
Hy vọng qua bài viết này, bạn đã nắm vững định nghĩa, tính chất và cách chứng minh đường tròn nội tiếp tam giác. Chúc bạn học tốt!
