Trong thế giới toán học, có những con số mang vẻ đẹp và sự kỳ diệu riêng, và Cac So Hoan Hao là một trong số đó. Vậy, số hoàn hảo là gì và tại sao chúng lại thu hút sự chú ý của các nhà toán học trong suốt hàng ngàn năm qua?
Để hiểu rõ về cac so hoan hao, trước hết, chúng ta cần làm quen với khái niệm ước số. Cho hai số nguyên dương a và b, nếu a chia hết cho b thì b được gọi là ước số của a. Ví dụ, các ước số của 12 là 1, 2, 3, 4, 6 và 12.
Bây giờ, hãy loại bỏ chính số a ra khỏi danh sách các ước số của nó. Những ước số còn lại (nhỏ hơn a) được gọi là ước số thực sự của a. Một số a được gọi là số hoàn hảo nếu tổng của tất cả các ước số thực sự của nó bằng chính nó.
Ví dụ điển hình nhất về số hoàn hảo là số 6. Các ước số thực sự của 6 là 1, 2 và 3. Ta thấy rằng 1 + 2 + 3 = 6. Do đó, 6 là một số hoàn hảo.
Một ví dụ khác là số 28. Các ước số thực sự của 28 là 1, 2, 4, 7 và 14. Tổng của chúng là 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Vậy 28 cũng là một số hoàn hảo.
Người xưa đã biết đến 4 cac so hoan hao nhỏ nhất là 6, 28, 496 và 8128.
- 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
- 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064
Khoảng 300 năm trước Công nguyên, nhà toán học Hy Lạp Euclid đã ghi chép những thông tin đầu tiên về cac so hoan hao. Ông đưa ra một phương pháp để tìm cac so hoan hao: Lấy tổng của các số nhân đôi liên tiếp bắt đầu từ 1 (1, 2, 4, 8, …) Nếu tổng này là một số nguyên tố (số chỉ chia hết cho 1 và chính nó), thì nhân tổng đó với số cuối cùng trong dãy số nhân đôi, ta sẽ được một số hoàn hảo.
Ví dụ:
- (1 + 2) x 2 = 6
- (1 + 2 + 4) x 4 = 28
- (1 + 2 + 4 + 8 + 16) x 16 = 496
Trong ký hiệu toán học hiện đại, tổng trên có thể biểu diễn là 2p – 1 và số cuối cùng là 2(p – 1). Ví dụ: 496 = (25 – 1) x 24 = 31 x 16.
Hơn 2000 năm trôi qua, chưa ai tìm ra cac so hoan hao bằng phương pháp khác ngoài cách của Euclid. Các nhà toán học đã thử nhiều hướng tiếp cận khác nhau nhưng chưa có kết quả. Đến thế kỷ XV, số hoàn hảo thứ 5 mới được tìm thấy.
Thế kỷ XVI, có người dự đoán rằng mọi số hoàn hảo đều có chữ số hàng đơn vị là 6 hoặc 8. Một hướng nghiên cứu khác là tìm kiếm số hoàn hảo lẻ, nhưng cho đến nay vẫn chưa có kết quả.
Nhà toán học Fermat ở thế kỷ XVII đã nghiên cứu về cac so hoan hao và đưa ra định lý nổi tiếng mang tên ông: Định lý nhỏ Fermat. Cùng thời gian đó, nhà toán học Mersenne tập trung tìm kiếm các số nguyên tố p mà 2p – 1 là một số nguyên tố. Những số nguyên tố có dạng 2p – 1 sau này được gọi là số nguyên tố Mersenne.
Euler ở thế kỷ XVIII đã chứng minh rằng mọi số hoàn hảo chẵn đều có dạng như Euclid đã chỉ ra.
Năm 1911, số hoàn hảo thứ 10 được tìm thấy. Đây cũng là số hoàn hảo cuối cùng được tính toán bằng tay, một minh chứng cho sự nỗ lực phi thường của các nhà toán học đam mê cac so hoan hao.
Ngày nay, với sự hỗ trợ của máy tính và tốc độ tính toán vượt trội, cac so hoan hao vẫn tiếp tục được tìm kiếm. Tuy nhiên, khi p càng lớn, số lượng phép kiểm tra cũng tăng lên rất nhanh. Ba số hoàn hảo gần đây nhất được tìm thấy (theo thứ tự số p tăng dần) là số thứ 46, 47 và 48, vào các năm 2009, 2008 và 2013. Hành trình khám phá cac so hoan hao vẫn còn tiếp diễn và có lẽ còn rất xa mới đến hồi kết.
