Các Dạng Bài Tập Logarit Có Lời Giải Chi Tiết

Logarit là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 12 và thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia. Bài viết này sẽ tổng hợp các dạng bài tập logarit thường gặp, kèm theo phương pháp giải và ví dụ minh họa chi tiết, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.

Các Dạng Bài Tập Logarit Thường Gặp

Chúng ta sẽ đi sâu vào các dạng bài tập logarit khác nhau, bao gồm:

• Giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số
• Giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa
• Giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ

Giải Phương Trình Logarit Bằng Cách Đưa Về Cùng Cơ Số

Đây là một trong những phương pháp cơ bản nhất để giải phương trình logarit. Ý tưởng chính là sử dụng các tính chất của logarit để biến đổi phương trình, đưa các logarit về cùng một cơ số, từ đó có thể so sánh và giải quyết dễ dàng hơn.

1. Định nghĩa

Phương trình logarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu logarit.

2. Phương trình logarit cơ bản

• loga x = b ⇔ x = ab (0 < a ≠ 1)
• loga f(x) = loga g(x) ⇔ f(x) = g(x) (với điều kiện f(x) > 0 và g(x) > 0)

3. Các bước giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số

• Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình (nếu có). Điều kiện này đảm bảo các biểu thức dưới dấu logarit và cơ số phải dương và cơ số khác 1.

• Bước 2. Sử dụng các công thức đổi cơ số và các tính chất của logarit để đưa tất cả các logarit trong phương trình về cùng một cơ số. Các công thức đổi cơ số quan trọng bao gồm:

  • log_ab = log_cb / log_ca
  • log_ab = 1 / log_ba

• Bước 3. Sau khi đã đưa về cùng cơ số, áp dụng định nghĩa hoặc các tính chất để biến đổi phương trình về dạng cơ bản và giải. Ví dụ, nếu có log_af(x) = log_ag(x), thì f(x) = g(x).

• Bước 4. Kiểm tra lại điều kiện xác định ban đầu để loại bỏ các nghiệm không hợp lệ và kết luận nghiệm của phương trình.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình: log₂ x + log₃ x + log₄ x = log₂₀ x.

Lời giải:

Điều kiện xác định: x > 0.

Sử dụng công thức đổi cơ số về cơ số 2:

Tiếp tục biến đổi và rút gọn:

Đưa phương trình về dạng đơn giản hơn:

Giải phương trình và kiểm tra điều kiện:

Kết hợp với điều kiện x > 0, nghiệm của phương trình là x = 1.

Bài 2: Giải phương trình

Lời giải:

Biến đổi và giải phương trình:

Vậy tập nghiệm của phương trình là {1; 2}.

Bài 3: Giải phương trình

Lời giải:

Thực hiện các bước giải:

Vậy tập nghiệm của phương trình là {3}.

Giải Phương Trình Logarit Bằng Cách Mũ Hóa

Phương pháp mũ hóa (hay còn gọi là giải bằng cách lấy mũ) là cách biến đổi phương trình logarit thành phương trình mũ tương ứng, từ đó giải quyết bài toán một cách dễ dàng hơn.

1. Phương trình logarit cơ bản

• log_a x = b ⇔ x = a^b (0 < a ≠ 1)
• log_a f(x) = log_a g(x) ⇔ f(x) = g(x) (với điều kiện f(x) > 0 và g(x) > 0)

2. Cơ sở của phương pháp mũ hoá

loga f(x) = g(x) (0 < a ≠ 1) ⇔ f(x) = ag(x) và f(x) > 0

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình log₂ (x+3) = 1.

Lời giải:

Áp dụng phép mũ hóa:

log₂ (x+3) = 1 ⇔ x+3 = 2¹ ⇔ x = -1

Bài 2: Giải phương trình log(25^x – 2.2^x+1) = x.

Lời giải:

Thực hiện mũ hóa và biến đổi:

log(25^x – 2.2^x+1) = x ⇔ 25^x – 2.4^x = 10^x

Tiếp tục giải phương trình:

Tìm nghiệm và so sánh điều kiện:

Vậy tập nghiệm của phương trình là

Bài 3: Giải phương trình log₂ (9-2^x )=3-x.

Lời giải:

Áp dụng phương pháp mũ hóa:

log₂ (9-2^x ) = 3-x ⇔ 9-2^x=2^3-x ⇔ 9-2^x=8/2^x ⇔ 2^2x-9.2^x+8=0

Vậy tập nghiệm của phương trình là {0; 3}.

Giải Phương Trình Logarit Bằng Cách Đặt Ẩn Phụ

Đây là phương pháp rất hiệu quả khi phương trình logarit có dạng phức tạp hoặc chứa các biểu thức lặp đi lặp lại. Việc đặt ẩn phụ giúp đơn giản hóa phương trình, đưa về dạng quen thuộc hơn để giải.

1. Phương trình logarit cơ bản

• log_ax = b ⇔ x = a^b (0 < a ≠ 1)
• log_af(x) = log_ag(x) ⇔ f(x) = g(x) (với điều kiện f(x) > 0 và g(x) > 0)

2. Các bước giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Giải phương trình: f[log_ag(x)] = 0 (0 < a ≠ 1)

• Bước 1: Đặt t = log_ag(x) (*). Xác định rõ biểu thức cần đặt làm ẩn phụ.
• Bước 2: Tìm điều kiện của t (nếu có). Điều này giúp xác định khoảng giá trị mà ẩn phụ có thể nhận.
• Bước 3: Thay ẩn phụ vào phương trình ban đầu, ta được một phương trình mới theo ẩn t: f(t) = 0. Giải phương trình này để tìm các giá trị của t.
• Bước 4: Thay các giá trị t vừa tìm được vào phương trình (*) để tìm x. Giải các phương trình logarit đơn giản này để tìm nghiệm x.
• Bước 5: Kiểm tra lại điều kiện xác định của phương trình ban đầu để loại bỏ các nghiệm không hợp lệ và kết luận nghiệm của phương trình.

3. Một số lưu ý quan trọng khi biến đổi

1. log_af²(x) = 2log_a|f(x)|

2. log_af^2k(x) = 2klog_a|f(x)|

3. log_af^2k+1(x) = (2k+1)log_af(x)

4. log_a(f(x)g(x)) = log_a|f(x)| + log_a|g(x)|

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình log₂³ x – 4log₃x + 3 = 0.

Lời giải:

Điều kiện xác định: x > 0.

Đặt t = log₃x. Khi đó phương trình trở thành:

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình là {3; 27}.

Bài 2: Giải phương trình

Lời giải:

Khi đó phương trình trở thành:

Tập nghiệm của phương trình là {10; 100}.

Bài 3: Giải phương trình

Lời giải:

Điều kiện xác định: x > 0.

Khi đó phương trình trở thành:

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình là {3√3; 3-√3 }.

Lời kết

Nắm vững các dạng bài tập logarit và phương pháp giải quyết là yếu tố then chốt để đạt điểm cao trong các kỳ thi. Hy vọng rằng, với những kiến thức và ví dụ minh họa chi tiết trong bài viết này, bạn sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán logarit. Chúc các bạn học tốt!