Các bài tập rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai là một phần quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Việc nắm vững các phương pháp và kỹ năng giải các bài tập này sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán phức tạp hơn. Bài viết này tổng hợp các dạng bài tập thường gặp, kèm theo phương pháp giải và ví dụ minh họa chi tiết, giúp các em học sinh ôn luyện hiệu quả.
Phương Pháp Chung Để Rút Gọn Biểu Thức Chứa Căn Bậc Hai
Để rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai, chúng ta thường thực hiện các bước sau:
-
Phân tích và biến đổi: Sử dụng các phép biến đổi đại số, hằng đẳng thức đáng nhớ để đưa biểu thức về dạng đơn giản hơn. Chú ý đến việc phân tích thành nhân tử nếu có thể.
-
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Áp dụng công thức $ sqrt{A^2B} = |A|sqrt{B} $ với $ B geq 0 $.
-
Đưa thừa số vào trong dấu căn: Ngược lại với bước trên, sử dụng công thức $ Asqrt{B} = sqrt{A^2B} $ với $ B geq 0 $.
-
Khử căn ở mẫu: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp để khử căn ở mẫu.
-
Trục căn thức ở mẫu: Tương tự như khử căn, nhưng mục đích là để mẫu không còn chứa căn thức.
-
Cộng, trừ các căn thức đồng dạng: Sau khi đã biến đổi, cộng hoặc trừ các căn thức có cùng phần căn.
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: $ 3sqrt{2} + 5sqrt{8} – sqrt{20} + sqrt{18} $
Giải:
$ 3sqrt{2} + 5sqrt{8} – sqrt{20} + sqrt{18} = 3sqrt{2} + 5sqrt{4 cdot 2} – sqrt{4 cdot 5} + sqrt{9 cdot 2} $
$ = 3sqrt{2} + 5 cdot 2sqrt{2} – 2sqrt{5} + 3sqrt{2} = 3sqrt{2} + 10sqrt{2} – 2sqrt{5} + 3sqrt{2} = 16sqrt{2} – 2sqrt{5} $
Ví dụ về rút gọn biểu thức căn thức bậc hai: Phân tích các số dưới căn thành tích của các số chính phương và các số còn lại.
Ví dụ 2: Cho biểu thức $ P = frac{x-1}{sqrt{x}} : left( frac{x-1}{sqrt{x}+1} – frac{x}{sqrt{x} + x} right) $.
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi $ x = 22 + 3 $.
c) Tìm x thỏa mãn $ Psqrt{x} = 6sqrt{x} – 3 – sqrt{x} – 4 $.
Giải:
a) Rút gọn biểu thức P:
b) Tính giá trị của P khi $ x = 2sqrt{2} + 3 = (sqrt{2} + 1)^2 $:
$ sqrt{x} = sqrt{(sqrt{2} + 1)^2} = sqrt{2} + 1 $
$ P = sqrt{x} + 1 = sqrt{2} + 1 + 1 = sqrt{2} + 2 $
Giá trị của P khi $ x = 2sqrt{2} + 3 $ là $ sqrt{2} + 2 $.
Bài Tập Trắc Nghiệm Rút Gọn Biểu Thức Chứa Căn Bậc Hai
Câu 1: Giá trị của biểu thức $ sqrt{4} + sqrt{9} $ là:
A. 1 B. 5 C. 2 D. 3
Lời giải:
$ sqrt{4} + sqrt{9} = 2 + 3 = 5 $
Chọn đáp án B.
Câu 2: Giá trị của biểu thức $ sqrt{(sqrt{3} – 2)^2} $ là:
A. 1 B. 0 C. $ 2 – sqrt{3} $ D. 3
Lời giải:
$ sqrt{(sqrt{3} – 2)^2} = |sqrt{3} – 2| = 2 – sqrt{3} $
Chọn đáp án C.
Câu 3: Rút gọn biểu thức $ frac{sqrt{a^3}}{sqrt{a}} $ với $ a > 0 $ ta được:
A. a B. $ a^2 $ C. $ sqrt{a} $ D. 3
Lời giải:
$ frac{sqrt{a^3}}{sqrt{a}} = sqrt{frac{a^3}{a}} = sqrt{a^2} = a $
Chọn đáp án A.
Câu 4: Giá trị của biểu thức $ sqrt{16} – sqrt{9} $ là:
A. 4 B. 5 C. 2 D. 1
Lời giải:
$ sqrt{16} – sqrt{9} = 4 – 3 = 1 $
Chọn đáp án D.
Câu 5: Rút gọn biểu thức $ sqrt{4a^2} $ với $ a > 0 $ ta được:
A. 4a B. $ a^2 $ C. 2 D. 2a
Lời giải:
$ sqrt{4a^2} = sqrt{(2a)^2} = 2a $ (vì a > 0)
Chọn đáp án D.
Câu 6: Rút gọn biểu thức $ frac{sqrt{12}}{sqrt{3}} $ ta được:
A. 2 B. 4 C. 3 D. 1
Lời giải:
$ frac{sqrt{12}}{sqrt{3}} = sqrt{frac{12}{3}} = sqrt{4} = 2 $
Chọn đáp án A.
Câu 7: Rút gọn biểu thức $ sqrt{(sqrt{5} – 3)^2} $
A. 1 B. 2 C. $ 3-sqrt{5} $ D. 4
Lời giải:
$ sqrt{(sqrt{5} – 3)^2} = |sqrt{5} – 3| = 3 – sqrt{5} $
Chọn đáp án C.
Câu 8: Rút gọn biểu thức: $ frac{a-1}{sqrt{a}-1} $ (với $ a geq 0; a neq 1 $)
A. $ sqrt{a} $ B. $ sqrt{a} – 1 $ C. $ sqrt{a} + 1 $ D. $ a-1 $
Lời giải:
$ frac{a-1}{sqrt{a}-1} = frac{(sqrt{a}-1)(sqrt{a}+1)}{sqrt{a}-1} = sqrt{a} + 1 $
Chọn đáp án C.
Câu 9: Rút gọn biểu thức: $ frac{x-1}{sqrt{x}+1} $ với $ x geq 0, x neq 1 $
A. $ sqrt{x}-1 $ B. $ sqrt{x}+1 $ C. $ x-1 $ D. $ x+1 $
Lời giải:
$ frac{x-1}{sqrt{x}+1} = frac{(sqrt{x}-1)(sqrt{x}+1)}{sqrt{x}+1} = sqrt{x} – 1 $
Chọn đáp án A.
Câu 10: Rút gọn biểu thức: $ frac{x-1}{x-sqrt{x}} $ với $ x geq 0, x neq 1 $
A. $ frac{sqrt{x}-1}{sqrt{x}} $ B. $ frac{sqrt{x}+1}{x} $ C. $ frac{1}{sqrt{x}} $ D. $ frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}} $
Lời giải:
$ frac{x-1}{x-sqrt{x}} = frac{(sqrt{x}-1)(sqrt{x}+1)}{sqrt{x}(sqrt{x}-1)} = frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}} $
Chọn đáp án D.
Câu 11: Giá trị biểu thức $ 2sqrt{9} – 3sqrt{4} $ là:
A. 6 B. 4 C. 2 D. 0
Lời giải:
$ 2sqrt{9} – 3sqrt{4} = 2 cdot 3 – 3 cdot 2 = 6 – 6 = 0 $
Đáp án cần chọn là: D
Câu 12: Rút gọn biểu thức $ sqrt{a^2} + a $ với a > 0 ta được:
A. 2a B. $ a^2 $ C. 0 D. a
Lời giải:
Với a > 0, ta có $ sqrt{a^2} + a = a + a = 2a $
Đáp án cần chọn là: A
Câu 13: Rút gọn biểu thức $ sqrt{4} + sqrt{16} – sqrt{25} $ ta được:
A. 7 B. -1 C. 1 D. 3
Lời giải:
$ sqrt{4} + sqrt{16} – sqrt{25} = 2 + 4 – 5 = 1 $
Đáp án cần chọn là: C
Câu 14: Đẳng thức nào dưới đây là đúng:
A. $ sqrt{a+b} = sqrt{a} + sqrt{b} $ B. $ sqrt{(a-b)^2} = |a-b| $ C. $ sqrt{a^2} = a $ D. $ sqrt{ab} = sqrt{a} – sqrt{b} $
Lời giải:
$ sqrt{(a-b)^2} = |a-b| $ là đẳng thức đúng.
Đáp án cần chọn là: B
Câu 15: Với a, b > 0, đẳng thức nào dưới đây là đúng?
A. $ sqrt{frac{a}{b}} = frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} $ B. $ sqrt{frac{a}{b}} = frac{a}{b} $ C. $ sqrt{frac{a}{b}} = frac{sqrt{a}}{b} $ D. $ sqrt{frac{a}{b}} = frac{a}{sqrt{b}} $
Lời giải:
Ta có: $ sqrt{frac{a}{b}} = frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} $ với a, b > 0.
Đáp án cần chọn là: A
Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Thực hiện rút gọn các biểu thức sau:
a) $ sqrt{12} + sqrt{4.5} + sqrt{12.5} $;
b) $ sqrt{96} – 6sqrt{frac{2}{3}} + sqrt{33} + 6 – sqrt{10} – 4sqrt{6} $.
Hướng dẫn giải:
Bài 2. Rút gọn biểu thức:
a) $ 2sqrt{frac{27}{4}} – sqrt{frac{48}{9}} – 2sqrt{frac{75}{16}} $;
b) $ sqrt{99} – sqrt{18} – sqrt{11.11} + 3sqrt{22} $;
c) $ sqrt{5+3} cdot sqrt{8} – 2sqrt{15} $;
d) $ sqrt{48} – 2sqrt{3} + 2sqrt{4.5} – 2sqrt{frac{45}{3}} $.
Hướng dẫn giải:
Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) $ 2sqrt{3} – sqrt{frac{6}{8}} – 2 – 2sqrt{16} cdot sqrt{frac{3}{16}} = -frac{3}{2} $;
b) $ frac{1-sqrt{a}}{sqrt{a}} cdot frac{1-sqrt{a} + sqrt{a}}{1-sqrt{a}} = 1 $ với $ a geq 0, a neq 1 $.
Hướng dẫn giải:
Bài 4. Với a > 0, các biểu thức sau được rút gọn:
a) $ 5sqrt{a} + 6sqrt{frac{a}{4}} – sqrt{frac{a}{4a+5}} $;
b) $ 2sqrt{a} – 9sqrt{frac{a}{3}} + sqrt{frac{a^2}{4a}} + 2sqrt{frac{a^2}{25a^5}} $.
Bài 5. Cho biểu thức $ N = frac{2x-9}{sqrt{x}-5} – frac{x+6}{sqrt{x}-2} – frac{2x+13}{sqrt{x}+3} $.
a) Rút gọn biểu thức N;
b) Tính giá trị của N khi $ x = 11-6sqrt{2} $;
c) Tìm các giá trị của x nguyên để N nguyên.
Hướng dẫn giải:
Bài 6. Nối cột A với cột B
Bài 7. Với $ a geq 0, b geq 0 $ hãy rút gọn biểu thức $ A = 5sqrt{a} – 4sqrt{b} cdot sqrt{frac{25a^3}{5a}} + 5asqrt{frac{16b^2}{9a}} $.
Bài 8. Các đẳng thức dưới đây được chứng minh đúng hay sai?
| Đẳng thức | Đúng/ Sai |
|---|---|
| $ frac{a+b}{sqrt{b^2}} cdot frac{sqrt{a^2b^4}}{a^2+2ab+b^2} = a $ với a + b | |
| $ frac{a+b}{2a-2b} – frac{a-b}{2a+2b} – frac{2bb-a}{a+b} = frac{2aa+b} $ với $ a neq b; a, b geq 0 $ |
Bài 9. Với a > 0, cho hai biểu thức $ A = frac{1}{x+sqrt{x}} + frac{x}{x+1} $ và $ B = frac{sqrt{x}}{x+sqrt{x}} $.
a) Tính giá trị của A khi x = 4;
b) Tìm các giá trị thực của x để B = 1/3;
c) So sánh B với 1;
d) Đặt $ P = A : B $. Tìm x thỏa mãn $ Psqrt{x}+25-sqrt{1.x} = frac{3x-3}{x-4}+3 $.
Bài 10. Cho biểu thức:
$ P = left( frac{1}{sqrt{x}-1} – frac{2sqrt{x}}{x-sqrt{x}} + frac{sqrt{x}-1}{x-1} right) : left( frac{x+sqrt{x}}{x+sqrt{x}} + frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}+1} + frac{1}{sqrt{x}+1} right) $ với $ x geq 0, x neq 1 $
a) Rút gọn P;
b) Tìm x để P < 1/2;
c) Tìm x nguyên để P nguyên;
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!