Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Việc nắm vững các phương pháp và bài tập sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi giải các bài toán liên quan.
Phương Pháp Rút Gọn Biểu Thức Chứa Căn Bậc Hai
Để rút gọn các biểu thức chứa căn thức bậc hai một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các bước sau:
Bước 1: Áp dụng các phép biến đổi và phép tính để đưa về các căn thức đồng dạng. Cụ thể:
- Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: $sqrt{A^2B} = |A|sqrt{B}$ với $B geq 0$.
- Đưa thừa số vào trong dấu căn: $Asqrt{B} = sqrt{A^2B}$ (với A ≥ 0) hoặc $Asqrt{B} = -sqrt{A^2B}$ (với A < 0)
- Khử căn ở mẫu: $frac{A}{sqrt{B}} = frac{Asqrt{B}}{B}$ với $B > 0$.
- Trục căn thức ở mẫu:
- $frac{A}{m pm sqrt{B}} = frac{A(m mp sqrt{B})}{m^2 – B}$.
- $frac{A}{sqrt{m} pm sqrt{B}} = frac{A(sqrt{m} mp sqrt{B})}{m – B}$.
Bước 2: Cộng, trừ các căn thức bậc hai đồng dạng.
Hình ảnh minh họa các bước giải bài tập rút gọn biểu thức căn bậc hai, giúp học sinh dễ hình dung và áp dụng.
Ví Dụ Minh Họa Rút Gọn Biểu Thức
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: $3sqrt{2} + sqrt{50} – sqrt{28} + sqrt{18}$
Giải:
$3sqrt{2} + sqrt{50} – sqrt{28} + sqrt{18} = 3sqrt{2} + 5sqrt{2} – 2sqrt{7} + 3sqrt{2} = 11sqrt{2} – 2sqrt{7}$
Ví dụ 2: Cho biểu thức $P = frac{x-1}{sqrt{x}} : (frac{x-1}{x+1} – frac{sqrt{x}}{x+sqrt{x}})$
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi $x = 2sqrt{2} + 3$.
c) Tìm x thỏa mãn $Psqrt{x} = frac{6}{sqrt{x}-3} – frac{x-4}{x}$.
Giải:
a) Rút gọn biểu thức P:
b) Ta có: $x = 2sqrt{2} + 3 = frac{2sqrt{2}-3}{4-3} = 4-2sqrt{3}$
Thay $x = 4-2sqrt{3}$ vào biểu thức P, ta được:
$P = … = sqrt{3} – 1$.
Giá trị của P khi $x = 2sqrt{2} + 3$ là $sqrt{3} – 1$.
Bài Tập Trắc Nghiệm Rút Gọn Biểu Thức (Có Đáp Án)
Để củng cố kiến thức, hãy cùng làm một số bài tập trắc nghiệm sau:
Câu 1: Giá trị của biểu thức $sqrt{(sqrt{3}-1)^2} + sqrt{(sqrt{3}+1)^2}$ là?
A. $2sqrt{3}$
B. 2
C. 4
D. 0
Lời giải:
Ta có: $sqrt{(sqrt{3}-1)^2} + sqrt{(sqrt{3}+1)^2} = |sqrt{3}-1| + |sqrt{3}+1| = sqrt{3} – 1 + sqrt{3} + 1 = 2sqrt{3}$
Chọn đáp án A.
Câu 2: Giá trị của biểu thức $sqrt{4} – sqrt{(sqrt{2}-3)^2}$ là?
A. 1
B. 0
C. 2
D. 3
Lời giải:
Ta có: $sqrt{4} – sqrt{(sqrt{2}-3)^2} = 2 – |sqrt{2}-3| = 2 – (3-sqrt{2}) = sqrt{2} – 1$
Chọn đáp án B.
Câu 3: Rút gọn biểu thức $frac{sqrt{a^3}}{sqrt{a}}$ với a > 0 ta được
Lời giải:
Ta có: $frac{sqrt{a^3}}{sqrt{a}} = sqrt{frac{a^3}{a}} = sqrt{a^2} = a$
Chọn đáp án D.
Câu 4: Giá trị của biểu thức $sqrt{9} + sqrt{25} – sqrt{16}$ là
A. 4
B. 5
C. 2
D. 3
Lời giải:
Ta có: $sqrt{9} + sqrt{25} – sqrt{16} = 3 + 5 – 4 = 4$
Chọn đáp án D.
Câu 5: Rút gọn biểu thức $sqrt{a^2} – 2sqrt{a^2} + 3sqrt{a^2}$ với a > 0 ta được
Lời giải:
Ta có: $sqrt{a^2} – 2sqrt{a^2} + 3sqrt{a^2} = a – 2a + 3a = 2a$
Chọn đáp án A.
Câu 6: Rút gọn biểu thức : $sqrt{frac{9a^2}{4}}$ với a < 0
Lời giải:
$sqrt{frac{9a^2}{4}} = frac{3|a|}{2} = -frac{3a}{2}$ (vì a < 0)
Chọn đáp án A.
Câu 7: Rút gọn biểu thức $frac{1}{sqrt{2} + 1} + frac{1}{sqrt{2} – 1}$
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Lời giải:
$frac{1}{sqrt{2} + 1} + frac{1}{sqrt{2} – 1} = frac{sqrt{2} – 1}{(sqrt{2} + 1)(sqrt{2} – 1)} + frac{sqrt{2} + 1}{(sqrt{2} – 1)(sqrt{2} + 1)} = frac{sqrt{2} – 1 + sqrt{2} + 1}{2-1} = 2sqrt{2}$
Chọn đáp án D.
Câu 8: Rút gọn biểu thức: $frac{a – sqrt{a}}{sqrt{a} – 1}$ (với a ≥ 0; a ≠ 1)
Lời giải:
$frac{a – sqrt{a}}{sqrt{a} – 1} = frac{sqrt{a}(sqrt{a} – 1)}{sqrt{a} – 1} = sqrt{a}$
Chọn đáp án C.
Câu 9: Rút gọn biểu thức: $frac{x – 1}{sqrt{x} + 1}$ với x ≥ 0, x ≠ 1
Lời giải:
$frac{x – 1}{sqrt{x} + 1} = frac{(sqrt{x} – 1)(sqrt{x} + 1)}{sqrt{x} + 1} = sqrt{x} – 1$
Chọn đáp án A.
Câu 10: Rút gọn biểu thức: $frac{x + 2sqrt{x} + 1}{sqrt{x} + 1}$ với x ≥ 0, x ≠ 1
Lời giải:
$frac{x + 2sqrt{x} + 1}{sqrt{x} + 1} = frac{(sqrt{x} + 1)^2}{sqrt{x} + 1} = sqrt{x} + 1$
Chọn đáp án D.
Câu 11: Giá trị biểu thức $sqrt{36} – sqrt{16} + sqrt{4}$ là:
A. 6
B. 4
C. 2
D. 3
Lời giải:
$sqrt{36} – sqrt{16} + sqrt{4} = 6 – 4 + 2 = 4$
Đáp án cần chọn là: B
Câu 12: Rút gọn biểu thức $sqrt{a^4} + 3a^2$ với a > 0 ta được:
Lời giải:
Với a > 0, ta có $sqrt{a^4} + 3a^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2$
Đáp án cần chọn là: A
Câu 13: Rút gọn biểu thức $sqrt{(sqrt{5}-2)^2}$ ta được:
Lời giải:
$sqrt{(sqrt{5}-2)^2} = |sqrt{5} – 2| = sqrt{5} – 2$
Đáp án cần chọn là: D
Câu 14: Đẳng thức nào dưới đây là đúng:
Lời giải:
$sqrt{a^2b^2} = |a||b|$
Đáp án cần chọn là: B
Câu 15: Với a, b > 0, đẳng thức nào dưới đây là đúng?
Lời giải:
$sqrt{frac{a}{b}} = frac{sqrt{a}}{sqrt{b}}$
Đáp án cần chọn là: A
Bài Tập Tự Luyện Rút Gọn Biểu Thức
Để nâng cao kỹ năng, hãy tự luyện các bài tập sau:
Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:
a) $sqrt{12} + sqrt{4.5} + sqrt{12.5}$
b) $sqrt{96} – 6sqrt{frac{2}{3}} + 3sqrt{3} + sqrt{6} – sqrt{10} – 4sqrt{6}$
Bài 2. Rút gọn biểu thức:
a) $2sqrt{frac{27}{4}} – sqrt{frac{48}{9}} – frac{2}{5}sqrt{frac{75}{16}}$
b) $9sqrt{9} – sqrt{18} – sqrt{11.11} + 3sqrt{22}$
Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) $2sqrt{3} – sqrt{68} – 2 – 2sqrt{frac{16}{3.16}} = -32$
b) $frac{1 – a}{sqrt{a}(1 – sqrt{a})} + frac{sqrt{a}}{1 – sqrt{a}}(1 – frac{a}{2}) = 1$ với a ≥ 0, a ≠ 1.
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a) $5sqrt{a} + 6sqrt{frac{a}{4}} – sqrt{frac{a}{4}} + 5$
b) $2sqrt{a} – 9sqrt{frac{a}{3}} + sqrt{a^2} + 2sqrt{frac{a^2}{25a^5}}$
Bài 5. Cho biểu thức $N = frac{2x – 9}{x – 5x + 6} – frac{x + 3}{x – 2} – frac{2x + 1}{3 – x}$
a) Rút gọn biểu thức N;
b) Tính giá trị của N khi $x = 11 – 6sqrt{2}$;
c) Tìm các giá trị của x nguyên để N nguyên.
Bài 6. Nối cột A với cột B (bài tập ghép cặp)
Bài 7. Với a≥0, b≥0 hãy rút gọn biểu thức $A = 5sqrt{a} – frac{4b}{sqrt{25a^3}} + 5sqrt{a}16ab^2 – 9sqrt{a}$.
Bài 8. Kiểm tra tính đúng sai của các đẳng thức.
Bài 9. Với a > 0, cho hai biểu thức $A = frac{1}{x + sqrt{x}} + frac{sqrt{x}}{x + 1}$ và $B = frac{sqrt{x}}{x + sqrt{x}}$.
a) Tính giá trị của A khi x = 4;
b) Tìm các giá trị thực của x để B = 1/3;
c) So sánh B với 1;
Bài 10. Cho biểu thức: $P = (frac{1}{x – 1} – frac{2sqrt{x}}{xsqrt{x} – x + x – 1}) : (frac{x + sqrt{x}}{xsqrt{x} + x + sqrt{x} + 1} + frac{1}{x + 1})$ với x ≥ 0, x ≠ 1
a) Rút gọn P;
b) Tìm x để P < 1/2;
c) Tìm x nguyên để P nguyên;
