Bài viết này đi sâu vào khái niệm nguyên hàm, đặc biệt khi biết một nguyên hàm cụ thể của hàm số f(x) là F(x) = e^x + x^2 trên tập số thực R. Chúng ta sẽ khám phá các ứng dụng của thông tin này trong việc giải quyết các bài toán tích phân và tìm các nguyên hàm khác.
Nguyên hàm là gì?
Một hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng I nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc I. Điều quan trọng cần nhớ là một hàm số có vô số nguyên hàm, tất cả chúng đều sai khác nhau một hằng số.
Ứng dụng của việc biết một nguyên hàm
Khi biết F(x) = e^x + x^2 là một nguyên hàm của f(x), ta có thể dễ dàng tìm f(x) bằng cách lấy đạo hàm của F(x):
f(x) = F'(x) = (e^x + x^2)’ = e^x + 2x
Thông tin này rất hữu ích trong việc tính tích phân xác định của f(x). Theo định lý cơ bản của giải tích, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì:
∫ab f(x) dx = F(b) – F(a)
Ví dụ: Tính ∫01 (e^x + 2x) dx
Vì F(x) = e^x + x^2 là một nguyên hàm của f(x) = e^x + 2x, ta có:
∫01 (e^x + 2x) dx = F(1) – F(0) = (e^1 + 1^2) – (e^0 + 0^2) = (e + 1) – (1 + 0) = e
Ví dụ bài tập và lời giải chi tiết
Xét bài toán sau: Biết F(x) = e^x + x^2 là một nguyên hàm của f(x) trên R. Tính giá trị của tích phân ∫01 [2 + f(x)] dx.
Lời giải:
Ta có f(x) = F'(x) = e^x + 2x.
Do đó, ∫01 [2 + f(x)] dx = ∫01 (2 + e^x + 2x) dx = ∫01 2 dx + ∫01 e^x dx + ∫01 2x dx
Ta biết F(x) = e^x + x^2 là một nguyên hàm của e^x + 2x nên ∫01 e^x dx + ∫01 2x dx = F(1) – F(0) = (e + 1) – (1 + 0) = e
Ngoài ra, ∫01 2 dx = 2x |01 = 2(1) – 2(0) = 2
Vậy, ∫01 [2 + f(x)] dx = 2 + e
Alt: Đồ thị minh họa hàm số e^x + x^2, một ví dụ về nguyên hàm, với chú thích làm nổi bật tính chất và ứng dụng của nó trong việc tính tích phân. Từ khóa: đồ thị hàm số, nguyên hàm, tích phân, e^x, x^2.
Tìm các nguyên hàm khác
Vì F(x) = e^x + x^2 là một nguyên hàm của f(x), ta có thể tìm vô số các nguyên hàm khác bằng cách cộng một hằng số C bất kỳ:
G(x) = e^x + x^2 + C
Ví dụ, G(x) = e^x + x^2 + 5, G(x) = e^x + x^2 – π, đều là các nguyên hàm của f(x) = e^x + 2x.
Kết luận
Việc biết một nguyên hàm của hàm số f(x) là một lợi thế lớn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến tích phân. Bằng cách lấy đạo hàm, ta có thể tìm ra hàm số f(x) và sử dụng định lý cơ bản của giải tích để tính tích phân xác định. Hơn nữa, ta có thể tìm vô số các nguyên hàm khác bằng cách cộng một hằng số tùy ý. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn cái nhìn sâu sắc hơn về khái niệm nguyên hàm và ứng dụng của nó.
