Biến Cố Xung Khắc là một khái niệm quan trọng trong xác suất thống kê. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về định nghĩa, quy tắc cộng xác suất cho biến cố xung khắc, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để bạn nắm vững kiến thức.
1. Định Nghĩa Biến Cố Xung Khắc
Hai biến cố A và B được gọi là biến cố xung khắc nếu sự xảy ra của biến cố này loại trừ sự xảy ra của biến cố kia. Nói cách khác, hai biến cố không thể đồng thời xảy ra.
Về mặt tập hợp, hai biến cố A và B là xung khắc nếu và chỉ nếu giao của hai tập hợp các kết quả có thể của chúng là rỗng:
ΩA ∩ ΩB = ∅
Ví dụ:
- Khi tung một đồng xu, biến cố “mặt sấp xuất hiện” và biến cố “mặt ngửa xuất hiện” là hai biến cố xung khắc.
- Khi gieo một con xúc xắc, biến cố “xuất hiện mặt 1 chấm” và biến cố “xuất hiện mặt 6 chấm” là hai biến cố xung khắc.
- Biến cố “Hôm nay trời mưa” và biến cố “Hôm nay trời nắng” có thể coi là xung khắc (trong một khoảng thời gian ngắn).
2. Quy Tắc Cộng Xác Suất Cho Biến Cố Xung Khắc
Nếu A và B là hai biến cố xung khắc, xác suất để biến cố A hoặc biến cố B xảy ra được tính bằng tổng xác suất của từng biến cố:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Mở rộng cho nhiều biến cố: Nếu A1, A2, …, Ak là các biến cố đôi một xung khắc (tức là bất kỳ hai biến cố nào trong số chúng cũng là xung khắc), thì:
P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ Ak) = P(A1) + P(A2) + … + P(Ak)
Ví dụ:
Nếu xác suất để một vận động viên đạt huy chương vàng là 0.3 và xác suất để đạt huy chương bạc là 0.2 (và không thể đạt cả hai huy chương cùng lúc), thì xác suất để vận động viên đó đạt huy chương vàng hoặc huy chương bạc là 0.3 + 0.2 = 0.5.
3. Bài Tập Vận Dụng
Để hiểu rõ hơn về biến cố xung khắc, hãy cùng xem xét một số ví dụ và bài tập sau:
Ví dụ 1:
Tung một con xúc xắc cân đối. Gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm là số chẵn”, B là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 4”. Hỏi A và B có phải là hai biến cố xung khắc không?
Giải:
- A = {2, 4, 6}
- B = {5, 6}
- A ∩ B = {6} ≠ ∅
Vậy A và B không phải là hai biến cố xung khắc.
Ví dụ 2:
Một hộp chứa 5 bi xanh, 3 bi đỏ và 2 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 bi. Tính xác suất để lấy được hai bi cùng màu.
Giải:
Gọi:
- A là biến cố “Lấy được 2 bi xanh”
- B là biến cố “Lấy được 2 bi đỏ”
- C là biến cố “Lấy được 2 bi vàng”
Rõ ràng, A, B, và C là các biến cố đôi một xung khắc. Biến cố “Lấy được 2 bi cùng màu” là A ∪ B ∪ C. Áp dụng quy tắc cộng xác suất:
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)
Tính từng xác suất:
- P(A) = (Số cách chọn 2 bi xanh) / (Tổng số cách chọn 2 bi) = C(2, 5) / C(2, 10) = 10/45
- P(B) = (Số cách chọn 2 bi đỏ) / (Tổng số cách chọn 2 bi) = C(2, 3) / C(2, 10) = 3/45
- P(C) = (Số cách chọn 2 bi vàng) / (Tổng số cách chọn 2 bi) = C(2, 2) / C(2, 10) = 1/45
Vậy, P(A ∪ B ∪ C) = 10/45 + 3/45 + 1/45 = 14/45
Ví dụ 3:
Cho hai biến cố A và B, biết P(A) = 0.4, P(B) = 0.5 và P(A ∪ B) = 0.9. Hỏi A và B có phải là hai biến cố xung khắc không?
Giải:
Nếu A và B xung khắc thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0.4 + 0.5 = 0.9.
Trong trường hợp này, P(A ∪ B) bằng tổng P(A) và P(B), nhưng điều này không đảm bảo chắc chắn A và B là xung khắc. Chúng ta cần kiểm tra xem P(A ∩ B) có bằng 0 hay không. Công thức tổng quát là:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Suy ra: P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B) = 0.4 + 0.5 – 0.9 = 0.
Vì P(A ∩ B) = 0, A và B là hai biến cố xung khắc.
4. Ứng dụng của Biến Cố Xung Khắc
Biến cố xung khắc có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực như:
- Thống kê: Tính xác suất của các sự kiện rời rạc.
- Khoa học máy tính: Phân tích thuật toán và độ phức tạp.
- Kinh tế: Dự báo rủi ro và phân tích thị trường.
- Bảo hiểm: Tính toán phí bảo hiểm dựa trên các rủi ro độc lập.
5. Kết Luận
Hiểu rõ khái niệm biến cố xung khắc và quy tắc cộng xác suất là rất quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết và giúp bạn tự tin hơn khi đối mặt với các bài tập về biến cố xung khắc. Hãy luyện tập thêm với các bài tập khác nhau để nắm vững kiến thức này.
