1. Quan Hệ Giữa Bán Kính và Dây Cung Vuông Góc
Một trong những tính chất quan trọng của đường tròn là mối quan hệ giữa bán kính và dây cung khi chúng vuông góc với nhau. Tính chất này không chỉ giúp giải các bài toán hình học một cách hiệu quả mà còn có nhiều ứng dụng thực tế.
Định lý 1:
Trong một đường tròn, bán kính (hoặc đường kính) vuông góc với một dây cung thì đi qua trung điểm của dây cung đó.
Hình ảnh minh họa: Bán kính OK vuông góc với dây AB tại H, suy ra H là trung điểm của AB.
Xét đường tròn tâm O, bán kính R:
- Cho CD là đường kính của đường tròn (O; R).
- AB là một dây cung bất kỳ của đường tròn (O; R).
- Nếu CD vuông góc với AB tại điểm H.
Khi đó, H chính là trung điểm của dây cung AB. Điều này có nghĩa là HA = HB.
Định lý 2:
Trong một đường tròn, bán kính đi qua trung điểm của một dây cung (không đi qua tâm) thì vuông góc với dây cung đó.
Hình ảnh minh họa: Đường kính CD đi qua trung điểm H của dây AB, suy ra CD vuông góc với AB tại H.
Xét đường tròn (O; R):
- CD là đường kính của đường tròn.
- AB là một dây cung của đường tròn, và dây này không đi qua tâm O (O không thuộc AB).
- H là trung điểm của dây cung AB, và H nằm trên đường kính CD.
Khi đó, đường kính CD sẽ vuông góc với dây cung AB tại H. Tức là, CD ⊥ AB tại H.
2. Ứng Dụng Trong Giải Toán
Các định lý về mối quan hệ giữa bán kính và dây cung vuông góc được áp dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán hình học liên quan đến đường tròn.
Phương pháp giải toán:
- Xác định yếu tố vuông góc: Tìm kiếm các thông tin về bán kính (hoặc đường kính) và dây cung vuông góc với nhau.
- Áp dụng định lý: Sử dụng các định lý trên để suy ra trung điểm của dây cung hoặc tính chất vuông góc.
- Sử dụng định lý Pythagoras: Thường xuyên áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông được tạo thành từ bán kính, nửa dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây cung.
Hình ảnh minh họa: Tính độ dài dây cung AB khi biết bán kính OA và khoảng cách OH từ tâm đến dây cung.
Ví dụ, cho đường tròn (O; R), dây AB và bán kính OC vuông góc với AB tại H. Biết OA = R và OH = d. Tính độ dài AB.
Giải:
- Vì OC vuông góc AB tại H, nên H là trung điểm của AB (theo định lý 1).
- Xét tam giác OHA vuông tại H, ta có: (OA^2 = OH^2 + HA^2) (định lý Pythagoras).
- Suy ra: (HA = sqrt{OA^2 – OH^2} = sqrt{R^2 – d^2}).
- Vậy, (AB = 2 * HA = 2sqrt{R^2 – d^2}).
3. Bài Tập Vận Dụng
Để nắm vững kiến thức, hãy thử sức với các bài tập sau:
- Cho đường tròn (O; 5cm), dây AB = 8cm. Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.
- Cho đường tròn (O), dây CD. Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh rằng OM vuông góc với CD.
- Cho đường tròn (O; R) và dây AB = R√3. Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.
Kết luận:
Hiểu rõ mối quan hệ giữa Bán Kính Vuông Góc Với Dây Cung là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán hình học phức tạp. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và áp dụng linh hoạt vào thực tế.