Site icon donghochetac

Bán Kính Mặt Cầu Đi Qua 4 Điểm: Phương Pháp Giải và Bài Tập Áp Dụng

donghochetacdh

Trong hình học không gian Oxyz, việc xác định Bán Kính Mặt Cầu đi Qua 4 điểm cho trước là một bài toán thường gặp. Bài viết này sẽ trình bày phương pháp giải chi tiết và các ví dụ minh họa để bạn đọc nắm vững kiến thức.

Phương pháp xác định bán kính mặt cầu đi qua 4 điểm

Cho bốn điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB), C(xC; yC; zC), D(xD; yD; zD) không đồng phẳng. Để tìm bán kính R của mặt cầu đi qua bốn điểm này, ta thực hiện các bước sau:

  1. Xác định tâm mặt cầu I: Gọi I(a; b; c) là tâm của mặt cầu. Vì I cách đều bốn điểm A, B, C, D nên ta có:
    IA = IB = IC = ID

  2. Lập hệ phương trình: Dựa vào điều kiện trên, ta có hệ phương trình:

    • IA2 = IB2
    • IA2 = IC2
    • IA2 = ID2

    Thay tọa độ các điểm vào và giải hệ phương trình để tìm ra tọa độ tâm I(a; b; c).

  3. Tính bán kính R: Khi đã biết tọa độ tâm I, bán kính R của mặt cầu được tính bằng công thức:

    R = IA = √((xA – a)2 + (yA – b)2 + (zA – c)2)

Ví dụ minh họa

Gọi (S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A(2;0;0), B(1;3;0), C(-1;0;3), D(1;2;3). Tính bán kính R của (S).

Lời giải

Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A(2;0;0), B(1;3;0), C(-1;0;3), D(1;2;3). Ta có:

IA2 = (2 – a)2 + (0 – b)2 + (0 – c)2 = a2 – 4a + 4 + b2 + c2
IB2 = (1 – a)2 + (3 – b)2 + (0 – c)2 = a2 – 2a + 1 + b2 – 6b + 9 + c2
IC2 = (-1 – a)2 + (0 – b)2 + (3 – c)2 = a2 + 2a + 1 + b2 + c2 – 6c + 9
ID2 = (1 – a)2 + (2 – b)2 + (3 – c)2 = a2 – 2a + 1 + b2 – 4b + 4 + c2 – 6c + 9

Từ IA = IB, ta có: a2 – 4a + 4 + b2 + c2 = a2 – 2a + 1 + b2 – 6b + 9 + c2 => -2a + 6b = 6

Từ IA = IC, ta có: a2 – 4a + 4 + b2 + c2 = a2 + 2a + 1 + b2 + c2 – 6c + 9 => -6a + 6c = 6

Từ IA = ID, ta có: a2 – 4a + 4 + b2 + c2 = a2 – 2a + 1 + b2 – 4b + 4 + c2 – 6c + 9 => -2a + 4b + 6c = 10

Giải hệ phương trình:

  • -2a + 6b = 6
  • -6a + 6c = 6
  • -2a + 4b + 6c = 10

Ta được a = 0, b = 1, c = 1. Vậy I(0; 1; 1).

Bán kính mặt cầu:

R = IA = √((2 – 0)2 + (0 – 1)2 + (0 – 1)2) = √(4 + 1 + 1) = √6

Vậy bán kính của mặt cầu (S) là √6.

Lưu ý:

  • Khi giải hệ phương trình, cần kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
  • Bài toán có thể được giải bằng nhiều cách khác nhau, tùy thuộc vào cách chọn hệ phương trình.

Bài tập tự luyện

  1. Tìm bán kính mặt cầu đi qua 4 điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và gốc tọa độ O(0;0;0).
  2. Cho 4 điểm A(1;1;1), B(2;2;0), C(3;0;0), D(0;0;3). Tính bán kính mặt cầu đi qua 4 điểm này.

Hy vọng bài viết này giúp bạn hiểu rõ hơn về cách xác định bán kính mặt cầu đi qua 4 điểm. Chúc bạn thành công trong học tập!

Exit mobile version