1. Khái niệm và Tính Chất của Đại Lượng Tỉ Lệ Nghịch
Đại lượng y được gọi là tỉ lệ nghịch với đại lượng x nếu chúng liên hệ với nhau theo công thức:
- y = a/x (hoặc x.y = a)
Trong đó, a là một hằng số khác 0, được gọi là hệ số tỉ lệ.
Lưu ý quan trọng:
- Nếu y tỉ lệ nghịch với x, thì x cũng tỉ lệ nghịch với y.
- Hệ số tỉ lệ a là một giá trị không đổi cho mối quan hệ tỉ lệ nghịch giữa x và y.
Tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch:
Nếu x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, và x1, x2, x3,… là các giá trị khác 0 của x, tương ứng với các giá trị y1, y2, y3,… của y, thì:
- Tích của hai giá trị tương ứng luôn không đổi và bằng hệ số tỉ lệ: x1.y1 = x2.y2 = x3.y3 = … = a
- Tỉ số của hai giá trị bất kỳ của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia: x1/x2 = y2/y1, x1/x3 = y3/y1, …
2. Các Dạng Bài Tập Về Bài Toán Tỉ Lệ Nghịch
Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp về đại lượng tỉ lệ nghịch, kèm theo phương pháp giải chi tiết:
Dạng 1: Xác định hai đại lượng có tỉ lệ nghịch hay không
- Phương pháp: Kiểm tra xem tích của hai đại lượng có phải là một hằng số hay không. Nếu có, chúng tỉ lệ nghịch.
Dạng 2: Tìm giá trị của đại lượng khi biết hệ số tỉ lệ và giá trị của đại lượng còn lại
- Phương pháp: Sử dụng công thức y = a/x hoặc x = a/y để tính toán.
Dạng 3: Bài toán thực tế về tỉ lệ nghịch
- Phương pháp: Xác định hai đại lượng tỉ lệ nghịch trong bài toán, lập bảng giá trị nếu cần, và sử dụng tính chất của tỉ lệ nghịch để giải.
3. Ví Dụ Minh Họa Bài Toán Tỉ Lệ Nghịch
Ví dụ 1: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30 km/h mất 4 giờ. Nếu người đó muốn đi từ A đến B mất 3 giờ thì vận tốc cần là bao nhiêu?
Giải:
Trên cùng một quãng đường, vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Gọi vận tốc cần tìm là x (km/h). Ta có:
30 4 = x 3
=> x = (30 * 4) / 3 = 40 (km/h)
Vậy vận tốc cần thiết để đi từ A đến B trong 3 giờ là 40 km/h.
Ví dụ 2: Một nhóm thợ có 12 người dự định xây xong một bức tường trong 5 ngày. Nếu muốn xây xong bức tường đó trong 3 ngày thì cần bao nhiêu người? (Giả sử năng suất làm việc của mỗi người là như nhau)
Giải:
Số người và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Gọi số người cần tìm là y. Ta có:
12 5 = y 3
=> y = (12 * 5) / 3 = 20 (người)
Vậy cần 20 người để xây xong bức tường trong 3 ngày.
Ví dụ 3: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch và khi x = 5 thì y = 8. Tìm hệ số tỉ lệ và biểu diễn y theo x.
Giải:
Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên:
Hệ số tỉ lệ là: a = x y = 5 8 = 40
Biểu diễn y theo x: y = 40/x
4. Bài Tập Tự Luyện về Bài Toán Tỉ Lệ Nghịch
Bài 1: Cho bảng sau:
| x | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 12 | 6 | 4 | 3 | 2.4 |
Hỏi x và y có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không? Vì sao?
Bài 2: Biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, khi x = 3 thì y = 10.
a) Tìm hệ số tỉ lệ.
b) Viết công thức liên hệ giữa y và x.
c) Tính giá trị của y khi x = 6 và x = 15.
Bài 3: Ba đội máy san đất làm ba khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày và đội thứ ba trong 8 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy, biết rằng tổng số máy của ba đội là 39 máy? (Giả sử năng suất của các máy là như nhau)
Bài 4: Một xưởng may có 45 công nhân may xong một lô hàng trong 25 ngày. Hỏi nếu xưởng đó có 75 công nhân thì sẽ may xong lô hàng đó trong bao nhiêu ngày? (Giả sử năng suất làm việc của mỗi công nhân là như nhau)
Bài 5: Cho x và y tỉ lệ nghịch với nhau. Khi x = -3 thì y = 12.
a) Tìm hệ số tỉ lệ của x và y.
b) Viết công thức tính y theo x.
c) Tính giá trị của y khi x = 4 và x = -6.
5. Ứng Dụng Thực Tế của Bài Toán Tỉ Lệ Nghịch
Bài toán tỉ lệ nghịch xuất hiện rất nhiều trong thực tế, ví dụ như:
- Vận tốc và thời gian: Khi quãng đường không đổi, vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
- Số lượng công nhân và thời gian hoàn thành công việc: Khi khối lượng công việc không đổi, số lượng công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch (giả sử năng suất làm việc của mỗi công nhân là như nhau).
- Áp suất và thể tích: Theo định luật Boyle-Mariotte, với một lượng khí nhất định ở nhiệt độ không đổi, áp suất và thể tích là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Hiểu rõ về bài toán tỉ lệ nghịch sẽ giúp bạn giải quyết nhiều vấn đề trong học tập và cuộc sống một cách dễ dàng hơn.
