Bài Toán Lập Hệ Phương Trình: Phương Pháp Giải và Bài Tập Áp Dụng

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán lớp 9, giúp học sinh phát triển tư duy logic và khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết các vấn đề thực tế. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chi tiết cùng các bài tập đa dạng, giúp học sinh nắm vững kỹ năng này.

Phương Pháp Giải Bài Toán Lập Hệ Phương Trình

Để giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Lập hệ phương trình.

• Chọn ẩn số: Xác định hai đại lượng chưa biết và biểu diễn chúng bằng các ẩn số, thường là x và y. Đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số (ví dụ: x > 0, y là số nguyên dương,…) và ghi rõ đơn vị.
• Biểu diễn các đại lượng: Dựa vào đề bài, biểu diễn các đại lượng khác (nếu có) qua các ẩn số x và y.
• Lập phương trình: Tìm hai mối quan hệ giữa các đại lượng đã cho và các đại lượng đã biểu diễn qua ẩn. Từ đó, thiết lập hai phương trình, tạo thành một hệ phương trình hai ẩn.

Bước 2: Giải hệ phương trình.

• Sử dụng các phương pháp giải hệ phương trình đã học (ví dụ: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số) để tìm ra nghiệm của hệ.

Bước 3: Kiểm tra và kết luận.

• Kiểm tra xem nghiệm tìm được có thỏa mãn điều kiện của ẩn số và phù hợp với ngữ cảnh của bài toán hay không.
• Đưa ra kết luận rõ ràng, trả lời câu hỏi của bài toán.

Bài Tập Vận Dụng

Để hiểu rõ hơn về phương pháp này, chúng ta sẽ cùng xét một số ví dụ minh họa.

Bài 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 34m. Nếu tăng chiều dài thêm 3m và tăng chiều rộng thêm 2m thì diện tích tăng thêm 45m². Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.

Hướng dẫn giải:

• Bước 1: Lập hệ phương trình.
  • Gọi chiều rộng của mảnh vườn là x (m) và chiều dài là y (m). Điều kiện: x > 0, y > 0.
  • Chu vi của hình chữ nhật là: 2(x + y) = 34 (1)
  • Khi tăng chiều dài và chiều rộng, diện tích tăng thêm 45m², ta có: (x + 2)(y + 3) = xy + 45 (2)

Alt text: Hệ phương trình được thiết lập từ giả thiết về chu vi và diện tích của hình chữ nhật trong bài toán, với x và y lần lượt là chiều rộng và chiều dài.

• Bước 2: Giải hệ phương trình.

  • Từ (1), ta có: x + y = 17 => y = 17 – x
  • Thay vào (2), ta có: (x + 2)(17 – x + 3) = x(17 – x) + 45
  • Giải phương trình này, ta tìm được x = 5. Suy ra y = 12.

• Bước 3: Kiểm tra và kết luận.

  • Nghiệm x = 5 và y = 12 thỏa mãn điều kiện x > 0, y > 0.
  • Vậy chiều rộng của mảnh vườn là 5m và chiều dài là 12m.

Bài 2: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 72 và tổng của số mới và số đã cho là 110.

Hướng dẫn giải:

• Bước 1: Lập hệ phương trình.
  • Gọi chữ số hàng chục là x và chữ số hàng đơn vị là y. Điều kiện: x, y là các số nguyên từ 0 đến 9, x ≠ 0.
  • Số ban đầu là: 10x + y
  • Số sau khi đổi chỗ là: 10y + x
  • Theo đề bài, ta có hệ phương trình:

Alt text: Hệ phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa số ban đầu và số sau khi đổi chỗ hai chữ số, với x và y lần lượt là chữ số hàng chục và hàng đơn vị.

Alt text: Các bước giải chi tiết hệ phương trình để tìm ra chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số cần tìm, sử dụng phương pháp thế.

• Bước 2: Giải hệ phương trình.

  • Giải hệ phương trình trên, ta được x = 1 và y = 9.

• Bước 3: Kiểm tra và kết luận.

  • Nghiệm x = 1 và y = 9 thỏa mãn điều kiện.
  • Vậy số cần tìm là 19.

Bài 3: Hai thị xã A và B cách nhau 90km. Một ô tô khởi hành từ A và một xe máy khởi hành từ B cùng một lúc, ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau, ô tô chạy thêm 30 phút nữa thì đến B, còn xe máy chạy thêm 2 giờ nữa mới đến A. Tìm vận tốc của mỗi xe.

Hướng dẫn giải:

• Bước 1: Lập hệ phương trình.
  • Gọi vận tốc của ô tô là x (km/h) và vận tốc của xe máy là y (km/h). Điều kiện: x > 0, y > 0.
  • Giả sử hai xe gặp nhau tại C.
  • Thời gian ô tô đi từ C đến B là 0,5 giờ, nên quãng đường BC = 0,5x (km).
  • Thời gian xe máy đi từ C đến A là 2 giờ, nên quãng đường AC = 2y (km).
  • Tổng quãng đường AB là 90km, ta có: 0,5x + 2y = 90 (1)
  • Thời gian ô tô đi từ A đến C là 2y/ x (giờ) và thời gian xe máy đi từ B đến C là 0,5x/ y (giờ). Vì hai xe xuất phát cùng lúc và gặp nhau, nên: 2y/ x = 0,5x/ y (2)

Alt text: Hệ phương trình mô tả mối quan hệ giữa vận tốc, thời gian và quãng đường của ô tô và xe máy, dựa trên thông tin về thời gian di chuyển sau khi gặp nhau và tổng quãng đường.

• Bước 2: Giải hệ phương trình.

  • Từ (2), ta có: 4y² = x² => x = 2y (vì x, y > 0)
  • Thay vào (1), ta có: 0,5(2y) + 2y = 90 => 3y = 90 => y = 30
  • Suy ra x = 60.

• Bước 3: Kiểm tra và kết luận.

  • Nghiệm x = 60 và y = 30 thỏa mãn điều kiện x > 0, y > 0.
  • Vậy vận tốc của ô tô là 60km/h và vận tốc của xe máy là 30km/h.

Bài 4: Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h thì đến B sớm hơn dự định 2 giờ. Nếu giảm vận tốc đi 4km/h thì đến B muộn hơn 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của người đó.

Hướng dẫn giải:

• Bước 1: Lập hệ phương trình.
  • Gọi vận tốc dự định là x (km/h) và thời gian dự định là y (giờ). Điều kiện: x > 0, y > 0.
  • Quãng đường AB là: xy (km)
  • Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h thì đến B sớm hơn 2 giờ, ta có: (x + 14)(y – 2) = xy (1)
  • Nếu vận tốc giảm đi 4km/h thì đến B muộn hơn 1 giờ, ta có: (x – 4)(y + 1) = xy (2)

Alt text: Hệ phương trình thể hiện mối liên hệ giữa vận tốc, thời gian dự định và quãng đường AB, dựa trên sự thay đổi thời gian đến khi vận tốc thay đổi.

• Bước 2: Giải hệ phương trình.

  • Khai triển và rút gọn (1) và (2), ta được hệ phương trình:

  -2x + 14y = 28
  x - 4y = 4

  • Giải hệ phương trình này, ta được x = 28 và y = 6.

• Bước 3: Kiểm tra và kết luận.

  • Nghiệm x = 28 và y = 6 thỏa mãn điều kiện x > 0, y > 0.
  • Vậy vận tốc dự định là 28km/h và thời gian dự định là 6 giờ.

Bài Tập Tự Luyện

Để củng cố kiến thức, các bạn hãy thử sức với các bài tập sau:

Bài 1: Hai năm trước đây, tuổi của anh gấp đôi tuổi của em, còn 8 năm trước đây, tuổi của anh gấp 5 lần tuổi em. Hỏi hiện nay anh và em bao nhiêu tuổi?

Bài 2: Có hai loại quặng chứa 75% sắt và 50% sắt. Tính khối lượng của mỗi loại quặng đem trộn để được 25 tấn quặng chứa 66% sắt.

Bài 3: Một hình chữ nhật có chu vi 90m. Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và giảm chiều dài đi 15m thì ta được hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu. Tính các cạnh của hình chữ nhật đã cho.

Bài 4: Một người dự định đi xe máy từ A đến B cách nhau 96 km trong thời gian nhất định. Sau khi đi được một nửa quãng đường, người đó dừng lại 18 phút. Do đó, để đến B đúng hẹn, người đó đã tăng vận tốc thêm 2km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu và thời gian xe lăn bánh trên đường.

Bài 5: Bạn Tuấn vào cửa hàng bách hóa mua một đôi giày và một bộ quần áo thể thao, giá tiền tổng cộng là 148,000 đồng. Một tuần sau trở lại, giá mỗi đôi giày giảm 20%, giá mỗi bộ quần áo thể thao giảm 40%. Bạn Tuấn đưa cho cô bán hàng 111,000 đồng, cô bán hàng trả lại bạn Tuấn 8,900 đồng. Hỏi giá tiền một đôi giày, giá tiền một bộ quần áo thể thao khi chưa giảm giá là bao nhiêu?

Hy vọng với phương pháp giải chi tiết và các bài tập vận dụng trên, các bạn sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các Bài Toán Lập Hệ Phương Trình. Chúc các bạn học tốt!