Để giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải Bài Tập Về Phương Trình đường Thẳng một cách hiệu quả, bài viết này sẽ tổng hợp lý thuyết, các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải chi tiết, kèm theo các bài tập tự luyện có đáp án.
A. Tổng Quan Lý Thuyết Về Phương Trình Đường Thẳng
1. Các Vector Liên Quan Đến Đường Thẳng
- Vectơ chỉ phương (VTCP): Là vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng.
Alt text: Minh họa vectơ chỉ phương của đường thẳng, một khái niệm quan trọng trong bài tập về phương trình đường thẳng.
-
Vectơ pháp tuyến (VTPT): Là vectơ có giá vuông góc với đường thẳng.
-
Lưu ý:
- Nếu có một VTCP, ta có vô số VTCP khác bằng cách nhân với một số khác 0. Tương tự với VTPT.
- Một đường thẳng được xác định duy nhất khi biết một điểm thuộc đường thẳng và một VTCP hoặc VTPT.
2. Phương Trình Tổng Quát Của Đường Thẳng
- Định nghĩa: ax + by + c = 0, với a và b không đồng thời bằng 0, là phương trình tổng quát của đường thẳng. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là (a; b).
Alt text: Biểu thức phương trình tổng quát của đường thẳng ax + by + c = 0, nền tảng cho nhiều bài tập về phương trình đường thẳng.
- Các trường hợp đặc biệt:
- ax + c = 0: Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Oy.
- by + c = 0: Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox.
- ax + by = 0: Đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0).
3. Phương Trình Tham Số Của Đường Thẳng
- Định nghĩa:
x = x0 + at
y = y0 + bt
là phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(x0; y0) và có VTCP là (a; b), với t là tham số.
Alt text: Công thức phương trình tham số của đường thẳng, giúp biểu diễn mọi điểm trên đường thẳng dựa trên một tham số t.
- Phương trình chính tắc: (x – x0)/a = (y – y0)/b (a, b # 0).
- Phương trình đoạn chắn: x/a + y/b = 1. (Đường thẳng cắt Ox tại (a;0), Oy tại (0;b)).
4. Hệ Số Góc Của Đường Thẳng
- Đường thẳng đi qua M(x0; y0) có hệ số góc k: y – y0 = k(x – x0).
- Nếu đường thẳng có VTCP (u1; u2) với u1 # 0 thì hệ số góc k = u2/u1.
5. Vị Trí Tương Đối Của Hai Đường Thẳng
Xét hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2y + c2 = 0.
- d1 cắt d2: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất. a1/a2 != b1/b2
- d1 song song d2: Hệ phương trình vô nghiệm. a1/a2 = b1/b2 != c1/c2
- d1 trùng d2: Hệ phương trình có vô số nghiệm. a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
- d1 vuông góc d2: a1a2 + b1b2 = 0.
Alt text: Các trường hợp vị trí tương đối của hai đường thẳng: cắt nhau, song song, trùng nhau, và vuông góc.
6. Góc Giữa Hai Đường Thẳng
cos(d1, d2) = |(a1a2 + b1b2) / (√(a1² + b1²) * √(a2² + b2²))|
- d1 vuông góc d2: a1a2 + b1b2 = 0.
7. Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Đường Thẳng
d(M, d) = |ax0 + by0 + c| / √(a² + b²) (M(x0; y0), d: ax + by + c = 0).
Alt text: Công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, một ứng dụng quan trọng của phương trình đường thẳng.
B. Các Dạng Bài Tập Về Phương Trình Đường Thẳng Thường Gặp
Dạng 1: Viết Phương Trình Đường Thẳng
Phương pháp:
- Phương trình tổng quát: Xác định VTPT (a; b) và điểm đi qua M(x0; y0). Phương trình: a(x – x0) + b(y – y0) = 0.
- Phương trình tham số: Xác định VTCP (u1; u2) và điểm đi qua M(x0; y0). Phương trình: x = x0 + u1t, y = y0 + u2t.
- Phương trình chính tắc: Xác định VTCP (a; b) (a.b#0) và điểm đi qua M(x0; y0). Phương trình: (x – x0)/a = (y – y0)/b
- Phương trình đoạn chắn: Tìm giao điểm A(a; 0), B(0; b) với Ox, Oy. Phương trình: x/a + y/b = 1.
Ví dụ:
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua A(1; 2) và B(3; -1).
Giải:
VTCP là AB = (2; -3). Suy ra VTPT là (3; 2).
Phương trình: 3(x – 1) + 2(y – 2) = 0 => 3x + 2y – 7 = 0.
Dạng 2: Xác Định Vị Trí Tương Đối Của Hai Đường Thẳng
Phương pháp:
- Giải hệ phương trình tạo bởi hai đường thẳng.
- So sánh tỉ lệ các hệ số.
Ví dụ:
Xét vị trí tương đối của d1: x – 2y + 1 = 0 và d2: 2x – 4y + 2 = 0.
Giải:
Ta thấy 1/2 = -2/-4 = 1/2. Vậy d1 trùng d2.
Dạng 3: Tính Góc Giữa Hai Đường Thẳng
Phương pháp: Sử dụng công thức cos(d1, d2) hoặc dựa vào hệ số góc.
Ví dụ:
Tính góc giữa d1: x + y – 1 = 0 và d2: x – y + 2 = 0.
Giải:
cos(d1, d2) = |(11 + 1-1) / (√2 * √2)| = 0. Vậy góc giữa hai đường thẳng là 90 độ.
Dạng 4: Tính Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Đường Thẳng
Phương pháp: Sử dụng công thức d(M, d).
Ví dụ:
Tính khoảng cách từ A(1; 2) đến d: 3x + 4y – 5 = 0.
Giải:
d(A, d) = |(31 + 42 – 5) / √(3² + 4²)| = |6/5| = 6/5.
C. Bài Tập Tự Luyện Về Phương Trình Đường Thẳng
- Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua M(2; -1) và có VTCP (1; 3).
- Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua A(0; 4) và vuông góc với đường thẳng x – 2y + 1 = 0.
- Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d1: x + y – 2 = 0 và d2: 2x – y + 5 = 0.
- Tính góc giữa hai đường thẳng d1: 2x – y + 3 = 0 và d2: x + 2y – 1 = 0.
- Tính khoảng cách từ điểm B(-1; 3) đến đường thẳng d: 4x – 3y + 2 = 0.
- Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;2) và song song với đường thẳng 3x – y + 5 = 0.
- Viết phương trình đường thẳng đi qua B(-2; 3) và vuông góc với đường thẳng x + 2y – 1 = 0.
- Tìm m để hai đường thẳng d1: mx + y – 2 = 0 và d2: x – my + 1 = 0 song song.
- Tìm m để hai đường thẳng d1: 2x – my + 3 = 0 và d2: x + y – 1 = 0 vuông góc.
- Cho tam giác ABC với A(1; 1), B(2; 3), C(4; -1). Viết phương trình đường cao AH của tam giác.
Đáp án: (ẩn để học sinh tự giải trước)
- x = 2 + t, y = -1 + 3t
- 2x + y – 4 = 0
- (-1; 3)
- 90 độ
- 3
- 3x – y – 1 = 0
- 2x – y + 7 = 0
- m = -1
- m = 2
- 3x – 2y – 1 = 0
D. Bài Tập Nâng Cao Về Phương Trình Đường Thẳng
Bài 1. Cho tam giác ABC với A(1; 2), B(3; 4), C(0; -2). Tìm tọa độ điểm H là chân đường cao kẻ từ A xuống BC.
Bài 2. Cho đường thẳng d: x – 2y + 1 = 0 và điểm A(3; 1). Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua d.
Bài 3. Cho hai đường thẳng d1: x + y – 2 = 0 và d2: x – y + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc d1 sao cho khoảng cách từ M đến d2 bằng √2.
Với việc nắm vững lý thuyết và luyện tập các dạng bài tập về phương trình đường thẳng một cách thường xuyên, học sinh sẽ tự tin hơn trong các bài kiểm tra và kỳ thi. Chúc các bạn học tốt!
