Bài viết này tổng hợp các dạng Bài Tập Về Mệnh đề Toán 10 thường gặp, kèm theo lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
Các Dạng Bài Tập Mệnh Đề Toán 10 Thường Gặp
1. Bài tập nhận biết mệnh đề:
Bài 1: Xác định câu nào là mệnh đề, câu nào không phải mệnh đề trong các câu sau. Nếu là mệnh đề, hãy xét tính đúng sai.
a) $x^2 + x + 1 > 0$
b) 26 chia hết cho 2 và cho 13
c) $x^2 + y^2 > 9$
d) $x – 2y$ và $2xy$
Hướng dẫn giải:
- Mệnh đề: Là câu khẳng định có tính đúng hoặc sai.
- Không phải mệnh đề: Câu hỏi, câu cảm thán, câu chứa biến chưa xác định.
Đáp án:
a) Đây là mệnh đề và là mệnh đề đúng.
b) Đây là mệnh đề và là mệnh đề đúng.
c) Đây chưa phải là mệnh đề vì chưa khẳng định được tính đúng sai (mệnh đề chứa biến).
d) Đây không phải là mệnh đề.
2. Bài tập về mệnh đề kéo theo và mệnh đề tương đương:
Bài 2: Xác định các mệnh đề dưới đây thuộc loại mệnh đề gì (kéo theo, tương đương) và xét tính đúng sai.
a) Nếu số $a$ chia hết cho 3 thì $a$ chia hết cho 6.
b) Nếu $Delta ABC$ cân tại $A$ thì $Delta ABC$ có $AB = AC$.
c) Tứ giác $ABCD$ là hình vuông khi và chỉ khi $ABCD$ là hình chữ nhật và có $AC$ vuông góc với $BD$.
Hướng dẫn giải:
- Mệnh đề kéo theo ($P Rightarrow Q$): Nếu $P$ thì $Q$.
- Mệnh đề tương đương ($P Leftrightarrow Q$): $P$ khi và chỉ khi $Q$. ($P Rightarrow Q$ và $Q Rightarrow P$)
Đáp án:
a) Đây là mệnh đề kéo theo và là mệnh đề sai. Một số chia hết cho 3 thì không chắc đã chia hết cho 6.
b) Đây là mệnh đề kéo theo và là mệnh đề đúng.
c) Đây là mệnh đề tương đương và là mệnh đề đúng.
3. Bài tập phát biểu mệnh đề và xét tính đúng sai:
Bài 3: Cho tứ giác $ABCD$, xét hai mệnh đề:
$P$: “$ABCD$ có tổng hai góc đối bằng $180^circ$”
$Q$: “$ABCD$ là tứ giác nội tiếp.”
Phát biểu mệnh đề $P Rightarrow Q$ và cho biết tính đúng, sai của mệnh đề.
Hướng dẫn giải: Dựa vào định nghĩa mệnh đề kéo theo để phát biểu.
Đáp án:
$P Rightarrow Q$: Nếu tứ giác $ABCD$ có tổng hai góc đối bằng $180^circ$ thì $ABCD$ là tứ giác nội tiếp.
Mệnh đề kéo theo này là mệnh đề đúng.
Bài 4: Cho $Delta ABC$, xét hai mệnh đề:
$P$: “$Delta ABC$ vuông cân tại $A$”
$Q$: “$Delta ABC$ là tam giác vuông có $AB = AC$”
Phát biểu mệnh đề $P Leftrightarrow Q$ bằng hai cách và cho biết mệnh đề này đúng hay sai.
Hướng dẫn giải: Dựa vào định nghĩa mệnh đề tương đương để phát biểu.
Đáp án:
$P Leftrightarrow Q$: $Delta ABC$ vuông cân tại $A$ khi và chỉ khi $Delta ABC$ là tam giác vuông có $AB = AC$.
$P Leftrightarrow Q$: $Delta ABC$ vuông cân tại $A$ là điều kiện cần và đủ để $Delta ABC$ là tam giác vuông có $AB = AC$.
Mệnh đề $P Leftrightarrow Q$ là mệnh đề đúng.
4. Bài tập về mệnh đề chứa biến và mệnh đề phủ định:
Bài 5: Cho mệnh đề chứa biến $P(n)$: “$n(n+1)$ là số lẻ” với $n$ là số nguyên. Hãy phát biểu các mệnh đề:
a) “$forall n in mathbb{Z}, P(n)$” và mệnh đề phủ định của nó.
b) “$exists n in mathbb{Z}, P(n)$” và mệnh đề phủ định của nó.
Hướng dẫn giải:
- Mệnh đề chứa biến: Là mệnh đề mà tính đúng sai phụ thuộc vào giá trị của biến.
- $forall$ (với mọi): Mệnh đề đúng với mọi giá trị của biến.
- $exists$ (tồn tại): Mệnh đề đúng với ít nhất một giá trị của biến.
- Mệnh đề phủ định ($overline{P}$): Phủ định lại mệnh đề gốc. Nếu P đúng thì $overline{P}$ sai và ngược lại.
- Phủ định của $forall$ là $exists$.
- Phủ định của $exists$ là $forall$.
Đáp án:
a) “$forall n in mathbb{Z}, P(n)$”: Với mọi $n$ thuộc tập số nguyên $mathbb{Z}$ thì $n(n+1)$ là số lẻ.
Mệnh đề phủ định: “$exists n in mathbb{Z}, overline{P}(n)$”: Tồn tại $n$ thuộc tập số nguyên $mathbb{Z}$ sao cho $n(n+1)$ là số chẵn.
b) “$exists n in mathbb{Z}, P(n)$”: Tồn tại $n$ thuộc tập số nguyên $mathbb{Z}$ để $n(n+1)$ là số lẻ.
Mệnh đề phủ định: “$forall n in mathbb{Z}, overline{P}(n)$”: Với mọi $n$ thuộc tập số nguyên $mathbb{Z}$ thì $n(n+1)$ là số chẵn.
Bài 6: Xét xem các mệnh đề sau đây đúng hay sai và nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề đó:
a) $forall n in mathbb{N}^{*}, n(n^2 – 1)$ là bội số của 3.
b) $forall x in mathbb{R}, x^2 – 6x + 15 > 0$
c) $exists x in mathbb{R}: x^2 – 6x + 5 = 0$
d) $forall x in mathbb{R}, exists y in mathbb{R}: y = x + 3$
e) $forall x in mathbb{R}, forall y in mathbb{R}: x + y geq 2sqrt{xy}$
Alt: Bất đẳng thức Cô-si cho hai số thực x và y, x + y lớn hơn hoặc bằng 2 căn bậc hai của xy.
f) $exists n in mathbb{N}, 2^n – 1$ là số nguyên tố.
Đáp án:
a) $forall n in mathbb{N}^{}, n(n^2 – 1)$ là bội số của 3: Mệnh đề đúng.
Vì: $n(n^2 – 1) = (n – 1)n(n + 1) vdots 3$
Mệnh đề phủ định: $exists n in mathbb{N}^{}, n(n^2 – 1)$ không là bội số của 3.
b) $forall x in mathbb{R}, x^2 – 6x + 15 > 0$: Mệnh đề đúng.
Vì $x^2 – 6x + 15 = (x – 3)^2 + 6 > 0$
Mệnh đề phủ định: $exists x in mathbb{R}, x^2 – 6x + 15 leq 0$.
c) $exists x in mathbb{R}, x^2 – 6x + 5 = 0$: Mệnh đề đúng.
Vì $x^2 – 6x + 5 = 0 Leftrightarrow x = 5; x = 1$.
Mệnh đề phủ định: $forall x in mathbb{R}, x^2 – 6x + 5 neq 0$
d) $forall x in mathbb{R}, exists y in mathbb{R}: y = x + 3$: Mệnh đề đúng.
Mệnh đề phủ định: $exists x in mathbb{R}, forall y in mathbb{R}: y neq x + 3$
e) $forall x in mathbb{R}, forall y in mathbb{R}: x + y geq 2sqrt{xy}$: Mệnh đề đúng (Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm).
Mệnh đề phủ định: $exists x in mathbb{R}, exists y in mathbb{R}: x + y < 2sqrt{xy}$
f) $exists n in mathbb{N}, 2^n – 1$ là số nguyên tố: Mệnh đề đúng.
Vì với $n = 2: 2^2 – 1 = 3$ là số nguyên tố.
Mệnh đề phủ định: $forall n in mathbb{N}, 2^n – 1$ không là số nguyên tố.
5. Bài tập phát biểu dưới dạng “điều kiện cần” và “điều kiện đủ”:
Bài 7: Phát biểu dưới dạng “điều kiện cần” đối với các mệnh đề sau:
a) Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
b) Hai tam giác có hai cặp cạnh bằng nhau kèm giữa một cặp góc bằng nhau thì bằng nhau.
c) Hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau thì bằng nhau.
d) Một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số chia hết cho 3.
Hướng dẫn giải:
- Điều kiện cần (Q): Nếu không có Q thì chắc chắn không có P. (P $Rightarrow$ Q)
- Điều kiện đủ (P): Nếu có P thì chắc chắn có Q. (P $Rightarrow$ Q)
- Điều kiện cần và đủ: P $Leftrightarrow$ Q
Đáp án:
a) Hai góc bằng nhau là điều kiện cần để chúng là hai góc đối đỉnh.
b) Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để chúng có hai cặp cạnh bằng nhau kèm giữa một cặp góc bằng nhau.
c) Hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau thì bằng nhau: Đây không phải là mệnh đề đúng nên không viết được với điều kiện cần.
d) Một số chia hết cho 3 là điều kiện cần để tổng các chữ số chia hết cho 3.
6. Bài tập xét tính đúng sai và sửa lại cho đúng:
Bài 8: Cho biết tính đúng, sai của các mệnh đề sau. Nếu sai, hãy sửa lại cho đúng:
a) $Delta ABC$ đều $Leftrightarrow$ Tam giác có ít nhất một góc bằng $60^circ$.
b) Phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ (a ≠ 0) có nghiệm kép $Leftrightarrow Delta = b^2 – 4ac = 0$.
Alt: Công thức tính delta trong phương trình bậc hai, delta bằng b bình phương trừ 4ac.
c) $Delta ABC$ cân tại $A Leftrightarrow$ Hai đường cao $BE$ và $CF$ bằng nhau.
d) $forall a, b, c in mathbb{R}: a > b Rightarrow a + c > b + c$
Alt: Tính chất của bất đẳng thức: Nếu a lớn hơn b thì a cộng c lớn hơn b cộng c với mọi c.
e) $forall a, b in mathbb{R}: a^2 < b^2 Rightarrow a < b$
Alt: Mệnh đề toán học với a, b là số thực, nếu a bình phương nhỏ hơn b bình phương thì a nhỏ hơn b.
Hướng dẫn giải: Xét tính đúng sai của cả hai chiều của mệnh đề tương đương.
Đáp án:
a) $Delta ABC$ đều $Leftrightarrow$ Tam giác có ít nhất một góc bằng $60^circ$.
Ta có:
$Delta ABC$ đều $Rightarrow$ Tam giác có ít nhất một góc bằng $60^circ$ (đúng)
Tam giác có ít nhất một góc bằng $60^circ$ $Rightarrow$ $Delta ABC$ đều (sai)
Vậy mệnh đề trên sai.
Sửa lại: $Delta ABC$ đều $Rightarrow$ Tam giác có ít nhất một góc bằng $60^circ$ (đúng)
b) Phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ (a ≠ 0) có nghiệm kép $Leftrightarrow Delta = b^2 – 4ac = 0$.
Đây là mệnh đề đúng do A $Rightarrow$ B đúng và B $Rightarrow$ A đúng.
c) $Delta ABC$ cân tại $A Leftrightarrow$ Hai đường cao $BE$ và $CF$ bằng nhau.
Đây là mệnh đề đúng do A $Rightarrow$ B đúng và B $Rightarrow$ A đúng.
d) $forall a, b, c in mathbb{R}: a > b Rightarrow a + c > b + c$: đúng
Alt: Bất đẳng thức số thực: với a, b, c thuộc R, nếu a lớn hơn b thì a cộng c lớn hơn b cộng c.
e) $forall a, b in mathbb{R}: a^2 < b^2 Rightarrow a < b$: Sai
Ví dụ: a = -2, b = 1. a^2 = 4, b^2 = 1. a^2 > b^2 nhưng a < b
Sửa lại: $forall a, b in mathbb{R^+}: a^2 < b^2 Rightarrow a < b$ (với a, b là số thực dương)
Alt: Biểu thức toán học: a bình phương nhỏ hơn b bình phương, dùng trong bài tập mệnh đề.
Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Nếu là mệnh đề, hãy xác định tính đúng sai.
a) $x^2 + x + 3 > 0$.
b) $x^2 + 2y > 0$.
c) $xy$ và $x + y$.
Bài 2. Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:
- 21 là số nguyên tố.
- Phương trình $x^2 + 1 = 0$ có 2 nghiệm thực phân biệt.
- Mọi số nguyên lẻ đều không chia hết cho 2.
- Tứ giác có hai cạnh đối không song song và không bằng nhau thì nó không phải là hình bình hành.
Bài 3. Trong các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề. Nếu là mệnh đề thì nó thuộc loại mệnh đề gì và xác định tính đúng sai của nó.
a) Nếu $a$ chia hết cho 6 thì $a$ chia hết cho 2.
b) Nếu tam giác $ABC$ đều thì tam giác $ABC$ có $AB = BC = CA$.
c) 36 chia hết cho 24 nếu và chỉ nếu 36 chia hết cho 4 và 36 chia hết cho 6.
Bài 4. Tìm mệnh đề đúng trong những mệnh đề sau:
A: “Tam giác có ba cạnh”;
B: “1 là số nguyên tố”.
Bài 5. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.
A: “16 là bình phương của một số nguyên”;
B: “Số 25 không chia hết cho 5”.
Chúc các bạn học tốt môn Toán lớp 10!
