Để học tốt chương trình hình học lớp 9, đặc biệt là phần đường tròn, việc luyện tập các dạng bài tập khác nhau là vô cùng quan trọng. Bài viết này tổng hợp các Bài Tập Về đường Tròn Lớp 9, từ cơ bản đến nâng cao, kèm theo hướng dẫn giải chi tiết, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết mọi bài toán.
Bài 1: Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Tia MO cắt (O) tại A, B (A nằm giữa M và O). Chứng minh rằng:
a) MA là khoảng cách ngắn nhất từ M đến các điểm trên (O).
b) MB là khoảng cách lớn nhất từ M đến các điểm trên (O).
Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AD = 2R; gọi I là trung điểm của OD. Qua I kẻ dây BC vuông góc với AD.
a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
b) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo R.
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CH. Chứng minh rằng:
a) MD ⊥ BE
b) Bốn điểm M, N, D, E cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 4: Cho đường tròn (O; 5cm). Hai dây AB và CD song song với nhau. Tính khoảng cách giữa AB và CD biết AB = 6cm, CD = 8cm.
Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là giao điểm của đường trung tuyến CM với OA. Gọi G là trọng tâm của tam giác AMC. Chứng minh rằng:
a) OM ⊥ GH
b) OG ⊥ CM
Bài 6: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định trên đường tròn, B là một điểm di động trên đường tròn. Gọi M là một điểm trên AB sao cho 3AM = 2AB. Chứng minh rằng khi điểm B di động trên đường tròn (O) thì điểm M di động trên một đường tròn cố định.
Bài 7: Cho đường tròn (O) đường kính AB; C là điểm di động trên đường tròn; H là hình chiếu của C trên AB. Trên OC lấy điểm M sao cho OM = OH
a) Điểm M chạy trên đường nào?
b) Kéo dài BC một đoạn CD = CB. Điểm D chạy trên đường nào?
Đáp án và hướng dẫn giải chi tiết:
Bài 1:
Từ M kẻ cát tuyến bất kì cắt (O) tại A’, B’. Gọi bán kính của (O) là R.
a) Trong ΔMA’O có:
MO < MA’ + AO
⇔ MA + AO < MA’ + AO
⇔ MA + R < MA’ + R
⇔ MA < MA’
Do kẻ cát tuyến MA’B’ bất kì, mà MA < MA’. Vậy MA là khoảng cách nhỏ nhất từ M đến đường tròn (O).
b) ΔOBB’ cân tại O
Xét tam giác MBB’ có:
MB’ < MB + BB’
⇔ MB’ < MB + 2R
Mà MB = MO + OB = MO + R
⇔ MB’ < MO + R + 2R = MO + 3R
Do kẻ cát tuyến MA’B’ bất kì, mà MB’ < MB. Vậy MB là khoảng cách lớn nhất từ M đến đường tròn (O).
Bài 2:
a) Đường kính AD vuông góc với dây BC tại I nên I là trung điểm của dây BC.
Tứ giác OBDC có:
I là trung điểm của BC và OD
OD ⊥ BC
⇒ Tứ giác OBDC là hình thoi
⇒ BD = OB = R
Mặt khác: do ΔABD có OA = OB = OD = R nên ΔABD vuông tại B.
ΔABD có cạnh góc vuông BD = 1/2 AD ⇒ góc BAD bằng 300
ΔABC có AI ⊥ BC và IB = IC ⇒ ΔABC cân tại A
⇒ AI cũng đồng thời là đường phân giác của góc A
ΔABC cân có một góc bằng 600
⇒ ΔABC đều
b) Trong ΔABD vuông tại D có:
AB = AD.cosA = 2R.cos300 = R√3
BC = BD = R
Bài 3:
a) Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông
Trong tam giác AED vuông tại E có EM là trung tuyến
⇒ MB = ME = AB/2
Trong tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến
⇒ BD = DE = BC/2
⇒ MD là đường trung trực của BE, do đó MD ⊥ BE
b) Ta có DN là đường trung bình của tam giác BHC nên DN // BE
⇒ MD ⊥ DN, góc MDN bằng 900
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên CH⊥ AB
Do đó: ∡HCA = ∡EBA (cùng phụ với góc BAC )(1)
ΔMBE cân nên ∡BME = ∡BEM (2)
ΔNCE cân nên ∡CNE = ∡CEN (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra ∡BME = ∡CNE
Ta có: ∡DME = ∡DNE
Hai tam giác vuông MDN và MEN chung cạnh huyền MN nên bốn điểm M, N, D, E cùng nằm trên một đường tròn có đường kính là MN
Bài 4:
Vẽ OH ⊥ AB; OK ⊥ CD
Do AB // CD nên 3 điểm H, O, K thẳng hàng
AH = 3cm; CK = 4 cm; R = 5 cm
Áp dụng định lí Pytago vào các tam giác vuông AHO, CKO ta được:
OH = 4 cm; OK = 3 cm
* Nếu O nằm giữa H và K thì HK = 7 cm
* Nếu O không nằm giữa H và K thì HK = 1 cm
Bài 5:
a) Gọi D là giao điểm của CG với AB, N là giao điểm của MG với AC
Ta có H là trọng tâm của tam giác ABC; G là trọng tâm của tam giác AMC
⇒ AB // GH
Mặt khác OM ⊥ AB (tính chất đường kính và dây cung)
⇒ OM ⊥ GH
b) Ta có: MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // BC
mà OA ⊥ BC nên OA ⊥ MN
Xét tam giác OMG có H là giao điểm của hai đường cao nên MH là đường cao thứ ba, do đó MH ⊥ OG hay OG ⊥ CM
Bài 6:
Gọi K là điểm trên bán kính OA sao cho 3AK = 2AO
Do A, O cố định nên K cố định
Xét ΔAMK và ΔABO có:
∡A chung
AM/AB = AK/AO = 2/3
⇒ ΔAMK ~ ΔABO (c.g.c)
⇒ ∡AKM = ∡AOB
Do đó, M ∈ (K; 2/3R)
Bài 7:
a) Xét ΔOMB và ΔOHC có:
OM = OH
góc O chung
OB = OC
⇒ ΔOMB = ΔOHC (c.g.c)
⇒ ∡OBM = ∡OCH = 900
Vậy M chạy trên đường tròn đường kính OB
b) Vì C ∈ (O) ⇒ góc ACB bằng 900 hay AC ⊥ DB
Mà CD = CB ⇒ Tam giác ADB có AC vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên ΔABD cân tại A
⇒ AD = AB = 2R
Vậy D chạy trên đường tròn (A; 2R)
Hi vọng với những bài tập về đường tròn lớp 9 này, các em sẽ học tốt hơn và đạt kết quả cao trong các kỳ thi. Chúc các em học tốt!
