Tích của vectơ với một số là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ lý thuyết, các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải chi tiết, kèm theo bài tập tự luyện để giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng.
A. Lý thuyết cần nắm vững
-
Định nghĩa: Tích của vectơ $vec{a}$ với một số thực k, ký hiệu là $kvec{a}$, là một vectơ có các đặc điểm sau:
- Cùng hướng với $vec{a}$ nếu k > 0.
- Ngược hướng với $vec{a}$ nếu k < 0.
- Độ dài bằng |k| lần độ dài của $vec{a}$, tức là $|kvec{a}| = |k||vec{a}|$.
- Nếu k = 0 hoặc $vec{a} = vec{0}$ thì $kvec{a} = vec{0}$.
-
Tính chất: Với hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ bất kỳ, và mọi số thực h, k, ta có:
- $k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$
- $(h + k)vec{a} = hvec{a} + kvec{a}$
- $h(kvec{a}) = (hk)vec{a}$
- $1vec{a} = vec{a}$
- $(-1)vec{a} = -vec{a}$
-
Các quy tắc quan trọng:
- Quy tắc trung điểm: Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M, ta có: $overrightarrow{MA} + overrightarrow{MB} = 2overrightarrow{MI}$.
- Quy tắc trọng tâm: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M, ta có: $overrightarrow{MA} + overrightarrow{MB} + overrightarrow{MC} = 3overrightarrow{MG}$.
-
Điều kiện để hai vectơ cùng phương: Hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ ( $vec{b}$ ≠ $vec{0}$) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại một số k sao cho $vec{a} = kvec{b}$.
-
Điều kiện ba điểm thẳng hàng: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại một số k khác 0 sao cho $overrightarrow{AB} = koverrightarrow{AC}$.
Hình ảnh minh họa khái niệm tích của vectơ với một số, thể hiện sự thay đổi độ dài và hướng của vectơ tùy thuộc vào giá trị của số đó.
B. Các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải
Dạng 1: Tính độ dài vectơ khi biết tích của vectơ với một số
-
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa tích của vectơ với một số, các quy tắc về tổng, hiệu của các vectơ và các hệ thức lượng, định lý Pytago để tính độ dài vectơ đó.
-
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính độ dài vectơ $overrightarrow{CM}$.
Sơ đồ minh họa tam giác đều ABC, với M là trung điểm cạnh BC, giúp hình dung bài toán tính độ dài vectơ CM.
Giải:
Ta có: $overrightarrow{CM} = frac{1}{2}overrightarrow{CB}$ (do M là trung điểm BC và C, M, B thẳng hàng).
Suy ra: $|overrightarrow{CM}| = |frac{1}{2}overrightarrow{CB}| = frac{1}{2}|overrightarrow{CB}| = frac{1}{2}a$.
-
Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh 2a tâm O. Tính độ dài vectơ $overrightarrow{OM}$, với M là điểm thỏa mãn $overrightarrow{OM} = frac{1}{2}overrightarrow{OC} + frac{1}{2}overrightarrow{OD}$.
Hình ảnh minh họa hình vuông ABCD với tâm O và vị trí tương đối của điểm M dựa trên các vectơ OC và OD.
Giải:
Vì O là tâm hình vuông ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.
Suy ra $overrightarrow{OC} = frac{1}{2}overrightarrow{AC}$ và $overrightarrow{OD} = frac{1}{2}overrightarrow{BD}$.
Do đó $overrightarrow{OM} = frac{1}{4}overrightarrow{AC} + frac{1}{4}overrightarrow{BD}$.
Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có $overrightarrow{AC} + overrightarrow{BD} = 2overrightarrow{BC}$.
Vậy $overrightarrow{OM} = frac{1}{2}overrightarrow{BC}$ hay $|overrightarrow{OM}| = frac{1}{2}|overrightarrow{BC}| = frac{1}{2}.2a = a$.
Dạng 2: Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước
-
Phương pháp giải: Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng $overrightarrow{AM} = vec{u}$, trong đó A là một điểm cố định, $vec{u}$ là một vectơ cố định. Từ đó, dựng điểm M sao cho $overrightarrow{AM} = vec{u}$.
-
Ví dụ 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm C sao cho $overrightarrow{CA} + 2overrightarrow{CB} = vec{0}$.
Hình ảnh thể hiện vị trí điểm C trên đường thẳng AB sao cho CA + 2CB = 0, minh họa bài toán tìm điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ.
Giải:
$overrightarrow{CA} + 2overrightarrow{CB} = vec{0}$
$Leftrightarrow overrightarrow{CA} + 2(overrightarrow{CA} + overrightarrow{AB}) = vec{0}$
$Leftrightarrow 3overrightarrow{CA} + 2overrightarrow{AB} = vec{0}$
$Leftrightarrow 3overrightarrow{CA} = -2overrightarrow{AB}$
$Leftrightarrow overrightarrow{AC} = frac{2}{3}overrightarrow{AB}$
Vậy điểm C nằm trên đường thẳng AB và cách A một khoảng bằng 2/3 độ dài đoạn AB.
-
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Tìm điểm K sao cho: $overrightarrow{KA} + overrightarrow{KB} + 2overrightarrow{KC} = vec{0}$.
Giải:
Gọi I là trung điểm AB, ta có $overrightarrow{KA} + overrightarrow{KB} = 2overrightarrow{KI}$.
Khi đó, $overrightarrow{KA} + overrightarrow{KB} + 2overrightarrow{KC} = vec{0}$
$Leftrightarrow 2overrightarrow{KI} + 2overrightarrow{KC} = vec{0}$
$Leftrightarrow overrightarrow{KI} + overrightarrow{KC} = vec{0}$
$Leftrightarrow overrightarrow{CK} = overrightarrow{KI}$Vậy K là trung điểm của CI.
Hình ảnh minh họa vị trí điểm K là trung điểm của đoạn thẳng CI, giải thích cách xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ trong bài toán.
C. Bài tập tự luyện
- Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm BC. Tính độ dài vectơ $overrightarrow{AI}$.
- Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Biết K là trung điểm của OD. Tính độ dài vectơ $overrightarrow{AK}$.
- Cho tam giác vuông cân ABC tại A có đường cao AH. Biết AB = AC = a. Tính độ dài vectơ $overrightarrow{AH}$.
- Cho hình vuông ABCD cạnh a tâm O. Cho M là điểm có vị trí tùy ý. Tính độ dài vectơ $overrightarrow{MA} + overrightarrow{MC}$.
- Cho tam giác ABC, có điểm E trên AB sao cho EB = $frac{1}{3}$AB và điểm F là trung điểm của BC. Biết $overrightarrow{AJ} = 2overrightarrow{AE} + overrightarrow{AF}$. Dựng điểm J.
- Cho tam giác ABC. Dựng điểm O sao cho $overrightarrow{OA} + overrightarrow{OB} + overrightarrow{OC} = vec{0}$.
- Cho tứ giác ABCD. Biết M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Dựng điểm I sao cho $overrightarrow{AI} = overrightarrow{AM} + overrightarrow{AN} + overrightarrow{AP} + overrightarrow{AQ}$.
- Cho tam giác ABC. Tìm điểm J sao cho $overrightarrow{JA} + overrightarrow{JB} – 2overrightarrow{JC} = vec{0}$. Biết I là trung điểm của AB.
- Cho 4 điểm A, B, C, M. Tìm điểm C sao cho $overrightarrow{MC} = frac{1}{2}(overrightarrow{MA} + overrightarrow{MB})$.
- Cho 3 điểm M, P, Q. Tìm điểm M sao cho $overrightarrow{AM} = 2overrightarrow{AP} – overrightarrow{AQ}$.
Bài viết này đã cung cấp đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập về tích của vectơ với một số. Hy vọng, với các bài tập tự luyện, các em học sinh sẽ nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập liên quan. Chúc các em học tốt!