Các Dạng Bài Tập Toán 8 Chương 3: Tam Giác Đồng Dạng Chọn Lọc
Tổng hợp lý thuyết và các dạng bài tập tam giác đồng dạng lớp 8 có đáp án chi tiết, bao gồm phương pháp giải và ví dụ minh họa. Tài liệu này giúp học sinh ôn luyện và đạt điểm cao trong các bài kiểm tra Toán lớp 8.
Mục lục Toán 8 Chương 3: Tam Giác Đồng Dạng
I/ Lý thuyết & Bài tập theo bài học
II/ Các dạng bài tập
Dạng bài: Chứng minh các hệ thức bằng định lý Ta-lét trong tam giác
A. Phương pháp giải
+) Vận dụng định lý Ta-lét.
+) Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.
B. Ví dụ minh họa
Câu 1: Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy hai điểm D, E. Một đường thẳng d1 qua D cắt tia Oy tại điểm F, đường thẳng d2 đi qua E và song song với d1, cắt tia Oy tại điểm G. Đường thẳng d3 qua G và song song với EF, cắt tia Ox tại điểm H.
Chứng minh:
Lời giải:
Câu 2: Cho tam giác ABC, M là một điểm bất kì trên BC. Các đường song song với AM vẽ từ B và C cắt AC, AB tại N và P. Chứng minh
Lời giải:
Áp dụng định lý Talet cho tam giác BNC (AM//BN) :
và tam giác CPB (AM//CP):
Lấy vế với vế của (1)+(2) ta được
Câu 3: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB
Lời giải:
Gọi H là trung điểm AD, N là trung điểm AC ⇒HN là đường trung bình của ΔADC
⇒ HN // DC
Vì H là trung điểm AD, M là trung điểm BD ⇒ HM là đường trung bình trong ΔABD
⇒ HM // AB
Mặt khác AB // CD(gt) ⇒ HM // HN // AB ⇒ H, M, N thẳng hàng và MN // AB.
b) Ta có: HN là đường trung bình trong ΔADC(cmt)
⇒ HN = CD
Có: HM là đường trung bình trong ΔABD
⇒ HM = AB
Ta có: MN = HN – HM = CD – AB =
Dạng bài: Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp đồng dạng thứ nhất (c – c – c)
A. Phương pháp giải
Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
+) Xếp các cạnh của hai tam giác theo cùng một thứ tự (chẳng hạn từ nhỏ tới lớn).
+) Lập ba tỉ số, nếu chúng bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng.
B. Ví dụ minh họa
Câu 1: Cho ΔABC vuông tại A có AB = 3cm, BC = 5cm và ΔA1B1C1 vuông tại B1 có A1B1 = 6cm, B1C1 = 8cm. Hỏi rằng hai tam giác vuông ΔABC và ΔA1B1C1 có đồng dạng với nhau không? Vì sao?
Lời giải:
Trong ΔABC vuông tại A, ta có:
Trong ΔA1B1C1 vuông tại B1, theo Pi – ta – go, ta có:
Nhận xét rằng:
Câu 2: Cho ΔABC, điểm O ở bên trong tam giác. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của OA, OB, OC.
a) Chứng minh rằng ΔABC đồng dạng với ΔMNP.
b) Tính chu vi của ΔMNP biết chu vi của ΔABC bằng 88cm.
Lời giải:
a) Trong ΔOAB, ta có :
M là trung điểm AO(gt)
N là trung điểm BO (gt)
⇒MN là đường trung bình ΔAOB
Trong ΔOAC, ta có :
M là trung điểm AO(gt)
P là trung điểm CO (gt)
⇒MP là đường trung bình ΔOAC
Trong ΔOBC, ta có :
N là trung điểm BO(gt)
P là trung điểm CO (gt)
⇒NP là đường trung bình ΔOBC
Vậy ta được:
b) Ta có ngay:
Câu 3: Cho theo tỉ số theo tỉ số k2. Chứng minh theo tỉ số ?
Lời giải:
Dạng bài: Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp đồng dạng thứ hai (c – g – c)
A. Phương pháp giải
Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.
Như vậy, nếu hai tam giác ΔABC và ΔA1B1C1 thỏa mãn:
Và khi đó, ta có ngay :
+) Xét hai tam giác, chọn ra hai góc bằng nhau, xét tỉ số hai cạnh tạo nên mỗi góc đó. Nếu hai tỉ số bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng.
B. Ví dụ minh họa
Câu 1: Cho ΔABC có AB = 12cm, AC = 15cm, BC = 18cm. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 10cm. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = 8cm.
a) Tam giác ΔAMN đồng dạng với tam giác nào?
b) Tính độ dài đoạn MN.
Lời giải:
a. Với hai tam giác ΔAMN và ΔABC, ta có :
b. Theo câu a), vì ΔAMN và ΔABC
Vậy MN = 12cm.
Câu 2: Cho góc . Trên Ox lấy hai điểm A,B sao cho OA = 3cm, OB = 8cm. Trên Oy lấy hai điểm C,D sao cho OC = 4cm, OD = 6cm.
a. Chứng minh rằng hai tam giác ΔOAD và ΔOCB đồng dạng.
b. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng hai tam giác ΔIAB và ΔICD có các góc bằng nhau từng đôi một.
Lời giải:
a. Với hai tam giác ΔOAD và ΔOCB, ta có :
b. Vì ΔOAD và ΔOCB(cmt) (hai góc tương ứng)
Với hai tam giác ΔIAB và ΔICD, ta có :
(dựa trên tính chất tổng ba góc trong tam giác bằng 1800).
Vậy, hai tam giác ΔIAB và ΔICD có các góc bằng nhau từng đôi một.
Câu 3: Cho ΔABC có AB = 4cm, AC = 5cm, BC = 6cm. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = 5cm.
a. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác nào ?
b. Tính độ dài CD.
c. Chứng minh rằng .
Lời giải:
a. Ta có :
Dạng bài: Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp đồng dạng thứ ba (g – g)
A. Phương pháp giải
Định lí: Nếu hai góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.
Như vậy, nếu hai tam giác ΔABC và ΔA1B1C1 thỏa mãn:
Và khi đó ta có:
B. Ví dụ minh họa
Câu 1: Tìm trong hình 41 các cặp tam giác đồng dạng.
Lời giải:.
Ta có:
Xét tam giác ABC và PMN có:
Ta lại có:
Xét Hai tam giác A’B’C’ và D’E’F’ có:
Câu 2: Cho ΔABC, O là điểm ở bên trong tam giác. Kẻ qua O đường thẳng song song với AB cắt AC,BC theo thứ tự tại M,N. Kẻ qua O đường thẳng song song với AC cắt AB,BC theo thứ tự tại P,Q. Hãy vẽ hình và chỉ ra trên hình đó những tam giác đồng dạng và giải thích vì sao chúng đồng dạng?
Lời giải:
Vậy, ta có được bốn cặp tam giác đồng dạng.
Câu 3: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
a. Chứng minh rằng OA.OD=OB.OC.
b. Đường thẳng qua O vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K. Chứng minh rằng .
Lời giải:
Câu 4: Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AD, đường phân giác BE. Giả sử AD cắt BE tại F. Chứng minh rằng .
Lời giải:
Trong ΔABD có BF là phân giác suy ra:
(tính chất) (1)
Với hai tam giác ΔABD và ΔABC, ta có nhận xét:
(cặp cạnh tương ứng)
Trong ΔABC có BE là phân giác suy ra:
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra đpcm.
