Phương trình mặt phẳng là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt là trong phần hình học không gian Oxyz. Việc nắm vững các dạng Bài Tập Phương Trình Mặt Phẳng và phương pháp giải quyết chúng là yếu tố then chốt để đạt điểm cao trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia. Bài viết này sẽ tổng hợp các dạng bài tập phương trình mặt phẳng thường gặp, kèm theo phương pháp giải chi tiết và ví dụ minh họa, giúp các bạn học sinh tự tin chinh phục chủ đề này.
Viết Phương Trình Mặt Phẳng Khi Biết Một Điểm Và Vecto Pháp Tuyến
Đây là dạng bài tập cơ bản nhất, làm nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn.
Phương Pháp Giải
Cho điểm $M(x_0; y_0; z_0)$ và vecto pháp tuyến $overrightarrow{n}(A; B; C)$. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
$A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0$
Ví dụ minh họa
Bài 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 0; -2) và có vecto pháp tuyến $overrightarrow{n}(2; -1; 1)$.
Lời giải:
Mặt phẳng (P) có phương trình:
$2(x – 1) – 1(y – 0) + 1(z + 2) = 0$
$Leftrightarrow 2x – y + z = 0$
Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1; -2; 1) và có vecto pháp tuyến $overrightarrow{n}(0; 2; -1)$.
Lời giải:
Mặt phẳng (P) có phương trình:
$0(x – 1) + 2(y + 2) – 1(z – 1) = 0$
$Leftrightarrow 2y – z + 5 = 0$
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và có vecto pháp tuyến $overrightarrow{n}(-1; 2; -1)$.
Lời giải:
Mặt phẳng (P) có phương trình:
$-1(x – 0) + 2(y – 0) – 1(z – 0) = 0$
$Leftrightarrow -x + 2y – z = 0$
Viết Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua Một Điểm Và Song Song Với Một Mặt Phẳng Khác
Dạng bài tập này liên quan đến việc sử dụng tính chất song song của hai mặt phẳng.
Phương Pháp Giải
Cách 1:
- Xác định vecto pháp tuyến $overrightarrow{n}(A; B; C)$ của mặt phẳng đã cho (P).
- Vì mặt phẳng cần tìm (α) song song với (P), nên (α) cũng có vecto pháp tuyến $overrightarrow{n}(A; B; C)$.
- Sử dụng công thức viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có vecto pháp tuyến.
Cách 2:
- Vì (α) // (P) nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng: $Ax + By + Cz + D’ = 0$, với $D’ neq D$ (D là hệ số tự do của mặt phẳng (P)).
- Thay tọa độ điểm M(xo; yo; zo) thuộc (α) vào phương trình trên để tìm D’.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0; 1; 2) và song song với mặt phẳng (Q): 2x – 4y + 2 = 0.
Lời giải:
Vecto pháp tuyến của (Q) là $overrightarrow{n}(2; -4; 0)$. Vì (P) // (Q) nên (P) cũng có vecto pháp tuyến $overrightarrow{n}(2; -4; 0)$.
Phương trình mặt phẳng (P) là:
$2(x – 0) – 4(y – 1) + 0(z – 2) = 0$
$Leftrightarrow 2x – 4y + 4 = 0$
$Leftrightarrow x – 2y + 2 = 0$
Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(-1; 2; -3) và song song với mặt phẳng (Oxy).
Lời giải:
Phương trình mặt phẳng (Oxy) là: z = 0.
Do (P) // (Oxy) nên (P) có dạng: z + c = 0 (c ≠ 0).
Vì (P) đi qua điểm M(-1; 2; -3) nên: -3 + c = 0 => c = 3.
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: z + 3 = 0.
Viết Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua Ba Điểm
Đây là dạng bài tập thường gặp, đòi hỏi kỹ năng tính toán và tư duy hình học tốt.
Phương Pháp Giải
- Tìm tọa độ các vecto $overrightarrow{AB}$, $overrightarrow{AC}$.
- Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $overrightarrow{n} = [overrightarrow{AB}, overrightarrow{AC}]$. (Tích có hướng của hai vecto)
- Chọn một điểm (A, B hoặc C) thuộc mặt phẳng.
- Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm đã chọn và có vecto pháp tuyến vừa tìm được.
Chú ý: Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (các điểm nằm trên các trục tọa độ) có dạng là:
$frac{x}{a} + frac{y}{b} + frac{z}{c} = 1$ (với a.b.c ≠ 0). Đây gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; -2; 0), B(1; 1; 1) và C(0; 1; -2).
Lời giải:
Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, gọi (α) là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại A(2; 0; 0), B(0; -3; 0), C(0; 0; 4). Viết phương trình mặt phẳng (α).
Lời giải:
Cách 1:
Ta có: $overrightarrow{AB} = (-2; -3; 0)$, $overrightarrow{AC} = (-2; 0; 4)$
$Rightarrow [overrightarrow{AB}, overrightarrow{AC}] = (-12; 8; -6)$
Gọi $overrightarrow{n}$ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) ta có:
$overrightarrow{n}$ cùng phương với $[overrightarrow{AB}, overrightarrow{AC}]$. Chọn $overrightarrow{n} = (6; -4; 3)$ ta được phương trình mặt phẳng (α) là:
$6(x – 2) – 4y + 3z = 0$
$Leftrightarrow 6x – 4y + 3z – 12 = 0$
Cách 2:
Do mặt phẳng cắt các trục tọa độ nên ta có phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn là:
$frac{x}{2} + frac{y}{-3} + frac{z}{4} = 1$
$Leftrightarrow 6x – 4y + 3z – 12 = 0$
Kết Luận
Nắm vững các dạng bài tập phương trình mặt phẳng và phương pháp giải là rất quan trọng để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi. Bên cạnh các dạng bài tập đã trình bày, các bạn học sinh nên luyện tập thêm các bài tập nâng cao và các bài tập thực tế để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. Chúc các bạn học tốt!
