Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
Alt text: Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số lớp 10 khác nhau, bao gồm căn thức và phân thức.
Bài 2: Tìm giá trị của tham số m để:
a) Hàm số xác định trên (-1; 0)
b) Hàm số có tập xác định là [0; +∞)
Bài 3: Tìm giá trị của tham số m để:
a) Hàm số xác định trên (-1; 3)
b) Hàm số xác định trên (0;+∞)
Bài 4: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
Alt text: Bài tập 4: Xác định tính chẵn lẻ của các hàm số, bao gồm hàm phân thức, hàm căn và hàm trị tuyệt đối, một dạng bài tập quan trọng trong chương trình hàm số lớp 10.
Bài 5: Cho hàm số y = f(x), y = g(x) có cùng tập xác định D. Chứng minh rằng
a) Nếu hai hàm số trên lẻ thì hàm số y = f(x) + g(x) là hàm số lẻ
b) Nếu hai hàm số trên một chẵn một lẻ thì hàm số y = f(x).g(x) là hàm số lẻ
Bài 6:
a) Tìm m để đồ thị hàm số sau nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
y = x3 – (m2 – 9)x2 + (m + 3)x + m – 3.
b) Tìm m để đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng
y = x4 – (m2 – 3x + 2)x3 + m2 – 1
Bài 7: Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
a) y = 4 – 3x
b) y = x2 + 4x – 5
c) y = 2/(x-2) trên (-∞; 2) và (2; +∞)
d) y = x/(x-1) trên (-∞; 1)
Bài 8: Chứng minh rằng hàm số y = x3 + x đồng biến trên R.
Áp dụng tìm số nghiệm của phương trình sau x3 – x = + 1
Alt text: Bài tập 8: Phương trình hàm số chứa căn thức, yêu cầu biến đổi và sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải.
Bài 9: Cho hàm số y = √(x-1) + x2 – 2x
a) Xét sự biến thiên của hàm số đã cho trên [1; +∞)
b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [2; 5]
Bài 10: Tìm các điểm cố định mà đồ thị hàm số sau luôn đi qua với mọi m.
a) y = x3 + 2(m-1)x2 + (m2 – 4m + 1)x – 2(m2 + 1)
b)
Alt text: Bài tập 10b: Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số hữu tỷ luôn đi qua với mọi giá trị của tham số m.
Bài 11: Cho hàm số f(x) = 2×4 + (m-1)x3 + (m2 – 1)x2 + 2(m2 – 3m + 2)x – 3.
Tìm m để điểm M(1;0) thuộc đồ thị hàm số đã cho.
Đáp án và hướng dẫn giải chi tiết
Bài 1:
a) Điều kiện xác định:
Alt text: Điều kiện xác định của hàm số: biểu thức dưới căn lớn hơn hoặc bằng 0, mẫu khác 0.
⇒ Tập xác định: D = [1; +∞){2}.
b) Điều kiện xác định:
Alt text: Biểu thức (x-1) nằm trong căn bậc hai, vậy điều kiện xác định là x-1 lớn hơn hoặc bằng 0.
⇒ Tập xác định: D = (1; +∞).
c) Điều kiện xác định: x2 + x + 1 ≠ 0 ⇔ (x + 1/2)2 + 3/4 ≠ 0 (luôn đúng ∀ x)
⇒ Tập xác định: D = R.
d) Điều kiện xác định:
Alt text: Điều kiện xác định phức tạp, kết hợp căn thức và phân thức, cần giải bất phương trình và loại nghiệm.
⇒ Tập xác định: D = [-1;+∞){3}
Alt text: Hàm số phân thức, điều kiện xác định là mẫu số khác 0.
⇒ Tập xác định: D = R{2}
Bài 2:
a) Điều kiện xác định: x ≠ m
Hàm số xác định trên (-1; 0) ⇔ m ∉ (-1; 0)
⇔
Alt text: Điều kiện để tham số m thỏa mãn hàm số xác định trên khoảng (-1;0) là m nhỏ hơn hoặc bằng -1 hoặc m lớn hơn hoặc bằng 0.
Vậy với thì hàm số xác định trên (-1; 0)
b) Điều kiện xác định:
Alt text: Điều kiện xác định của hàm số chứa căn: biểu thức dưới căn không âm.
Nếu m > 0 thì (*) ⇔ x ≥ m ⇒ D = [m; +∞) nên m > 0 không thỏa mãn
Nếu m ≤ 0 thì (*) ⇔ x ≥ 0 ⇒ D = [0; +∞)
Vậy m ≤ 0 là giá trị cần tìm.
Bài 3:
a) Hàm số xác định trên (-1; 3)
Điều kiện xác định:
Alt text: Điều kiện xác định của hàm số chứa căn: biểu thức dưới căn lớn hơn hoặc bằng 0.
Với m ≤ -1 thì (*) vô nghiệm.
Với m > -1 thì (*) ⇔ m – 1 ≤ x
Alt text: Giải bất phương trình để tìm điều kiện của m sao cho hàm số xác định trên khoảng (-1;3).
Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
b) Hàm số xác định trên (0;+∞)
Điều kiện xác định:
Alt text: Điều kiện xác định: Biểu thức dưới dấu căn lớn hơn hoặc bằng không.
Ta có: (m – 1)/2 > -m ⇔ m > 1/3
Với m > 1/3 thì (2) ⇔ x ≥ (m – 1)/2
⇒ D = [(m – 1)/2; +∞)
Khi đó hàm số xác định trên (0; +∞) khi (m – 1)/2 ≤ 0 ⇔ m ≤ 1
⇒ 1/3
Với m ≤ 1/3 thì (2) ⇔ x ≥ -m ⇒ D = [-m; +∞)
Khi đó hàm số xác định trên (0; +∞) khi -m ≤ 0 ⇔ m ≥ 0
⇒ 0 ≤ m ≤ 1/3
Vậy các giá trị m cần tìm là 0 ≤ m ≤ 1.
Bài 4
a)
Alt text: Hàm số bậc ba: y = x mũ 3 trừ 2x, cần xác định tính chẵn lẻ.
Tập xác định: D = R.
Với x ∈ D ⇒ -x ∈ D.Ta có:
Alt text: Chứng minh hàm số lẻ bằng cách thay x bằng -x và kiểm tra xem f(-x) = -f(x).
Hàm số đã cho là hàm số lẻ.
b)
Alt text: Hàm số phân thức: y = x bình phương trên x bình phương trừ 1, cần xác định tính chẵn lẻ.
Điều kiện xác định: x2 – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ ±1 ⇒ Tập xác định: D = R{1; -1}
Với x ∈ D ⇒ -x ∈ D.Ta có:
Alt text: Kiểm tra tính chẵn của hàm số bằng cách chứng minh f(-x) = f(x).
Hàm số đã cho là hàm số chẵn
Alt text: Hàm số căn: y = căn bậc hai của 1 trừ x bình phương, cần xác định tính chẵn lẻ.
⇒ Tập xác định: D = [-1;1]
Với x ∈ D ⇒ -x ∈ D.Ta có:
Alt text: Chứng minh hàm số lẻ: f(-x) = -f(x).
Hàm số đã cho là hàm số lẻ.
d)
Alt text: Hàm số phân thức: y = x trên x trừ 1, cần xét tính chẵn lẻ.
Điều kiện xác định: x – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 ⇒ Tập xác định: D = R{1}
Với x0 = -1 ∈ D ⇒ -x0 = 1 ∉ D
Vậy hàm số không chẵn cũng không lẻ.
e)
Alt text: Hàm số trị tuyệt đối và phân thức: y = x trên trị tuyệt đối của x trừ 1 trừ trị tuyệt đối của x cộng 1.
Tập xác định: R
Với x ∈ D ⇒ -x ∈ D.Ta có:
Alt text: Phân tích và biến đổi hàm số trị tuyệt đối để kiểm tra tính chẵn lẻ.
Điều kiện xác định: |x – 1| – |x + 1| ≠ 0 ⇔ |x – 1| ≠ |x + 1|
Alt text: Rút gọn biểu thức trị tuyệt đối để tìm tập xác định của hàm số.
Tập xác định: D = R {0}
Với x ∈ D ⇒ -x ∈ D.Ta có:
Alt text: Chứng minh hàm số lẻ bằng cách thay x bằng -x và chứng minh f(-x) = -f(x).
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Bài 5:
a) Ta có hàm số y = f(x) + g(x) có tập xác định D. Do hàm số y = f(x); y = g(x) lẻ nên ∀ x ∈ D ⇒ -x ∈ D và f(-x) = -f(x); g(-x) = -g(x) suy ra
y(-x) = f(-x)+ g(-x) = -[f(x) + g(x)] = -y(x)
Suy ra hàm số y = f(x) + g(x) là hàm số lẻ.
b) Giả sử hàm số y = f(x) chẵn, y = g(x) lẻ.
Khi đó hàm số y = f(x)g(x) có tập xác định là D nên ∀ x ∈ D ⇒ -x ∈ D
Ta có y(-x)= f(-x)g(-x) = f(x)[-g(x)] = -[f(x)g(x)] = -y(x)
Do đó hàm số y = f(x)g(x) lẻ.
Bài 6
a) Ta có TXĐ: D = R nên ∀ x ∈ D ⇒ -x ∈ D
Đồ thị hàm số đã cho nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số lẻ
⇔ f(-x) = -f(x), ∀ x ∈ R.
⇔ (-x)3 – (m2 – 9)(-x)2 + (m + 3)(-x) + m – 3 = x3 – (m2 – 9)x2 + (m + 3)x + m – 3, ∀ x ∈ R.
⇔ 2(m2 – 9)x2 – 2(m – 3) = 0, ∀ x ∈ R.
Alt text: Điều kiện để hàm số bậc 3 nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng là các hệ số của x bình phương và hệ số tự do phải bằng 0.
b) Ta có TXĐ: D = R nên ∀ x ∈ D ⇒ -x ∈ D
Đồ thị hàm số đã cho nhận trục tung làm trục đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số chẵn
⇔ f(-x) = f(x), ∀ x ∈ R.
⇔ (-x)4 – (m2 – 3x + 2)(-x)3 + m2 – 1 = x4 – (m2 – 3x + 2)x3 + m2 – 1, ∀ x ∈ R.
⇔ 2(m2 – 3x + 2)x3 = 0, ∀ x ∈ R.
⇔ m2 – 3x + 2 = 0
Alt text: Điều kiện để đồ thị hàm số bậc 4 nhận trục tung làm trục đối xứng.
Bài 7:
a) Hàm số đồng biến trên (-∞; 4/3) và nghịch biến trên khoảng (4/3; +∞)
b) Với mọi x1; x2 ∈ R; x1 ≠ x2 ta có:
Alt text: Công thức tính và xét dấu biểu thức để xác định sự biến thiên của hàm số bậc hai.
x1; x2 ∈ (-∞; -2) ⇒ K
x1; x2 ∈ (-2; +∞) ⇒ K > 0 suy ra hàm số đồng biến trên (-2; +∞).
c) Với mọi x1; x2 ∈ R; x1 ≠ x2 ta có:
Alt text: Công thức và cách xét sự biến thiên của hàm số hữu tỷ.
x1; x2 ∈ (-∞; 2) ⇒ K
x1; x2 ∈ (2; +∞) ⇒ K > 0 suy ra hàm số đồng biến trên (2; +∞)
d) Với mọi x1; x2 ∈ (-∞; 1); x1 ≠ x2 ta có:
Alt text: Cách xét sự biến thiên của hàm số y = x/(x-1) trên khoảng (-vô cực; 1).
Vậy hàm số nghịch biến trên(-∞; 1).
Bài 8:
Với mọi x1; x2 ∈ R; x1 ≠ x2 ta có:
Alt text: Chứng minh hàm số y=x mũ 3 cộng x đồng biến trên R.
= x12 + x22 + x1x2 + 1 > 0
Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên R.
Ta có x3 – x = + 1 ⇔ x3 + x = 2x + 1 +
Đặt= y, phương trình trở thành x3 + x = y3 + y
Do hàm số f(x) = x3 + x đồng biến trên R nên
x = y ⇒= x ⇔ x3 – 2x – 1 = 0
⇔
Alt text: Nghiệm của phương trình bậc ba x mũ 3 trừ 2x trừ 1 bằng 0.
Vậy phương trình có nghiệm
Bài 9: Cho hàm số y = √(x-1) + x2 – 2x
a) Với mọi x1; x2 ∈ [1; +∞); x1 ≠ x2 ta có:
Alt text: Xét sự biến thiên của hàm số chứa căn và đa thức trên khoảng xác định.
Do đó hàm số đã cho đồng biến trên [1; +∞)
b) Do hàm số đồng biến trên [1; +∞) nên f(2)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [2; 5] là 1, đạt được khi x = 2.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên [2; 5] là 17, đạt được khi x = 5.
Bài 10:
a) Ta có: y = x3 + 2(m-1)x2 + (m2 – 4m + 1)x – 2(m2 + 1)
⇔ m2(x – 2) + m(2×2 – 4x) + x3 – 2×2 + x – 2 – y = 0
Tọa độ điểm cố định mà họ đồ thị đồ thị luôn đi qua là nghiệm của hệ:
Alt text: Phương pháp tìm điểm cố định của đồ thị hàm số chứa tham số m.
Vậy điểm cần tìm là A (2; 0)
b)
Alt text: Bài tập tìm điểm cố định của đồ thị hàm số phân thức chứa tham số m.
Điều kiện xác định: x + m + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ -m – 2
Hàm số tương đương với:
(m – 1)x + m + 2 = y(x + m + 2)
⇔ m(x + 1 – y) – (x – 2 + xy + 2y) = 0
Tọa độ điểm cố định mà họ đồ thị đồ thị luôn đi qua là nghiệm của hệ:
Alt text: Hệ phương trình được thiết lập để tìm điểm cố định của đồ thị hàm số.
Điểm cố định là (0; 1) và (-4; -3)
Bài 11: Điểm M(1; 0) thuộc đồ thị hàm số đã cho khi và chỉ khi:
f(1) = 0
⇔ 0 = 2 + (m – 1) + (m2 – 1) + 2(m2 – 3m + 2) – 3
⇔ 3m2 – 5m + 1 = 0
⇔
Alt text: Nghiệm của phương trình bậc hai 3m bình trừ 5m cộng 1 bằng 0.
Vậylà giá trị cần tìm.