Góc giữa hai mặt phẳng là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian lớp 11. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn các phương pháp xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để nắm vững kiến thức.
1. Định nghĩa và phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng
1.1. Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Hiểu một cách đơn giản, đó là góc nhọn tạo bởi hai mặt phẳng giao nhau.
1.2. Các bước xác định góc giữa hai mặt phẳng
Để xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta thực hiện các bước sau:
- Tìm giao tuyến: Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) và (Q). Giao tuyến này đóng vai trò quan trọng trong việc xác định góc.
- Dựng đường vuông góc:
- Chọn một điểm A thuộc mặt phẳng (Q).
- Dựng đường thẳng AB vuông góc với mặt phẳng (P) tại điểm B (B ∈ (P)).
- Tìm hình chiếu vuông góc: Vẽ BH vuông góc với giao tuyến d tại H. Khi đó, theo định lý ba đường vuông góc, AH cũng vuông góc với d.
- Xác định góc: Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc AHB, ký hiệu là α, với 0° < α < 90°.
2. Các dạng bài tập thường gặp về góc giữa hai mặt phẳng
2.1. Góc giữa mặt bên và mặt đáy
Đây là dạng bài tập phổ biến, thường gặp trong các bài toán về hình chóp và hình lăng trụ.
- Phương pháp giải:
- Xác định đường cao của hình chóp/lăng trụ. Ví dụ, SH ⊥ (ABC), với H thuộc mặt phẳng đáy (ABC).
- Từ H, dựng đường HE vuông góc với cạnh đáy (ví dụ AB) của mặt bên mà ta xét góc giữa nó và mặt đáy.
- Chứng minh AB ⊥ (SHE).
- Kết luận góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng đáy (ABC) là góc SEH.
2.2. Góc giữa hai mặt bên
Dạng bài tập này phức tạp hơn một chút, đòi hỏi khả năng hình dung không gian tốt.
-
Phương pháp giải:
-
Cách 1: Tìm hai đường thẳng, gọi là a và b, lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng a và b.
-
Cách 2:
- Dựng đường cao SH ⊥ (ABC).
- Chọn điểm M bất kỳ thuộc AC, dựng MN ⊥ HC.
- Chứng minh MN ⊥ (SHC) => MN ⊥ SC.
- Dựng MK ⊥ SC => SC ⊥ (MKN) => SC ⊥ KN.
- Kết luận góc giữa hai mặt bên (SAC) và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng MK và KN.
-
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt đáy. Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
Giải:
- Giao tuyến: Giao tuyến của (SCD) và (ABCD) là CD.
- Vuông góc:
- ABCD là hình vuông nên CD ⊥ AD.
- SA ⊥ (ABCD) nên CD ⊥ SA.
- Kết luận: CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD. Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng AD và SD, chính là góc SDA.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = AC = a; cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
Giải:
- Vuông góc: SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ AB, AB ⊥ AC ⇒ AB ⊥ (SAC).
- Dựng đường cao: Kẻ AH ⊥ SC tại H.
- Chứng minh: AB ⊥ (SAC) ⇒ AB ⊥ SC, AH ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (ABH) ⇒ SC ⊥ BH.
- Xác định góc: Góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) là góc AHB.
- Tính toán:
- Trong tam giác vuông SAC:
1/AH^2 = 1/SA^2 + 1/AC^2 = 1/a^2 + 1/a^2 = 2/a^2⇒ AH =a√2 / 2. - Trong tam giác vuông ABH: BH =
√(AB^2 + AH^2) = √(a^2 + a^2/2) = a√(6) / 2. cos(AHB) = AH/BH = (a√2 / 2) / (a√6 / 2) = √3 / 3.
- Trong tam giác vuông SAC:
4. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông có cạnh 2a, SA=a√6 và vuông góc với đáy. Góc giữa (SBD) và (ABCD) bằng bao nhiêu?
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC = 60°, tam giác SBC là tam giác đều có cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO=a√3 / 2 . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2, BC=2√3 , cạnh bên SA=3√2 và vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi M là trung điểm AB, tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SMC) và mặt đáy (ABC).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC = a, SA=a√3 , SA ⊥ (ABC). Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là bao nhiêu?
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D, AB là đáy lớn và tam giác ABC là cân tại C, AC = a. Các mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy, cạnh bên SC=a√3 và tạo với mặt phẳng (SAB) một góc bằng 30°. Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng bao nhiêu?
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=a√3 . Góc tạo bởi (SAB) và (SCD) bằng bao nhiêu?
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a; AD=a√3 / 2 . Mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết góc ASB = 120°. Góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng bao nhiêu?
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có góc . Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC, hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC, biết đường cao của khối chóp là SH=a√6 / 3 và tam giác SBD vuông tại S. Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SCD).
Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB = BC = a và SA = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng bao nhiêu?
Hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, bạn sẽ nắm vững phương pháp giải các bài toán về góc giữa hai mặt phẳng và đạt kết quả tốt trong học tập. Chúc bạn thành công!
