BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
- Định nghĩa: Giới hạn của dãy số là một giá trị mà các số hạng của dãy số tiến gần đến khi n tiến đến vô cực.
- Các dạng giới hạn thường gặp:
- Giới hạn hữu hạn: lim un = L (khi n → ∞)
- Giới hạn vô cực: lim un = ∞ (khi n → ∞)
- Các quy tắc tính giới hạn: Tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn.
- Các giới hạn đặc biệt:
- lim (1/n) = 0 (khi n → ∞)
- lim qn = 0 (khi |q| < 1, n → ∞)
- lim nk = ∞ (khi k > 0, n → ∞)
B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP
Dạng 1. Tính giới hạn L = lim P(n)/Q(n) với P(n), Q(n) là các đa thức.
- Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho nk, với k là bậc cao nhất của đa thức ở mẫu.
Dạng 2. Tính giới hạn dạng L = lim P(n)/Q(n) với P(n), Q(n) là các hàm mũ an.
- Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho ank, với ak là cơ số lớn nhất trong các hàm mũ.
Dạng 3. Tính giới hạn của dãy số chứa căn thức.
- Phương pháp: Nhân lượng liên hợp để khử dạng vô định hoặc sử dụng các phép biến đổi đại số.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
(Các bài tập rèn luyện sẽ được bổ sung để giúp học sinh củng cố kiến thức)
BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
- Định nghĩa: Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến đến x0 là một giá trị L mà f(x) tiến gần đến khi x tiến gần đến x0.
- Ký hiệu: limx→x0 f(x) = L
- Các dạng giới hạn:
- Giới hạn hữu hạn
- Giới hạn vô cực (+∞ hoặc -∞)
- Giới hạn một bên:
- Giới hạn bên phải: limx→x0+ f(x)
- Giới hạn bên trái: limx→x0– f(x)
- Điều kiện tồn tại giới hạn: Giới hạn bên phải và giới hạn bên trái phải tồn tại và bằng nhau.
- Các quy tắc tính giới hạn: Tương tự như giới hạn của dãy số.
- Các giới hạn đặc biệt:
- limx→0 sin(x)/x = 1
- limx→0 (1 + x)1/x = e
B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP
Dạng 1. Tính giới hạn vô định dạng 0/0, trong đó tử thức và mẫu thức là các đa thức.
- Phương pháp: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, sau đó rút gọn các nhân tử chung.
Dạng 2. Tính giới hạn vô định dạng 0/0, trong đó tử thức và mẫu thức có chứa căn thức.
- Phương pháp: Nhân lượng liên hợp để khử dạng vô định.
Dạng 3. Giới hạn của hàm số khi x tiến đến vô cực.
- Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của x.
Dạng 4. Giới hạn một bên x tiến đến x0+ hoặc x tiến đến x0–.
- Phương pháp: Xét giá trị của hàm số khi x tiến gần đến x0 từ bên phải hoặc bên trái.
Dạng 5. Giới hạn của hàm số lượng giác.
- Phương pháp: Sử dụng các công thức lượng giác, các giới hạn đặc biệt và các phép biến đổi để đưa về dạng đơn giản hơn.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
(Các bài tập rèn luyện sẽ được bổ sung để giúp học sinh củng cố kiến thức về giới hạn hàm số)
BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
- Định nghĩa: Hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 nếu:
- f(x0) xác định.
- limx→x0 f(x) tồn tại.
- limx→x0 f(x) = f(x0)
- Hàm số liên tục trên một khoảng: Hàm số liên tục tại mọi điểm trên khoảng đó.
- Các tính chất của hàm số liên tục:
- Tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số liên tục (với mẫu khác 0) là các hàm số liên tục.
- Hàm số hợp của các hàm số liên tục là hàm số liên tục.
- Định lý giá trị trung gian: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(a) ≠ f(b), thì với mọi giá trị y nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một giá trị c thuộc (a, b) sao cho f(c) = y.
B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP
Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm.
- Phương pháp: Kiểm tra ba điều kiện của định nghĩa.
Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định.
- Phương pháp: Xác định các điểm không thuộc tập xác định hoặc các điểm mà hàm số có thể không liên tục, sau đó kiểm tra tính liên tục tại các điểm còn lại.
Dạng 3. Chứng minh phương trình có nghiệm.
- Phương pháp: Sử dụng định lý giá trị trung gian.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
(Các bài tập rèn luyện sẽ được bổ sung để giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số liên tục và các ứng dụng)
BÀI 4. ÔN TẬP CHƯƠNG IV
(Bài tập tổng hợp và các đề kiểm tra mẫu sẽ được bổ sung để giúp học sinh ôn tập toàn diện kiến thức về giới hạn và liên tục của hàm số)
