Bài Tập Giải Bất Phương Trình: Tổng Hợp Các Dạng Toán Thường Gặp

GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH – ÔN THI VÀO LỚP 10

Bất phương trình là một phần quan trọng trong chương trình toán lớp 9 và là một chủ đề không thể thiếu trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Bài viết này sẽ tổng hợp các dạng Bài Tập Giải Bất Phương Trình thường gặp, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán.

Dạng 1: Giải Bất Phương Trình Bậc Nhất Cơ Bản

Đây là dạng bài tập cơ bản nhất, đòi hỏi học sinh nắm vững các phép biến đổi tương đương trên bất phương trình.

Phương pháp:

• Bất phương trình bậc nhất có dạng: ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0.

• Để giải bất phương trình ax + b > 0, ta thực hiện các bước sau:

  • Chuyển b sang vế phải: ax > -b.
  • Chia cả hai vế cho a. Lưu ý: Nếu a > 0, giữ nguyên chiều bất đẳng thức. Nếu a < 0, đổi chiều bất đẳng thức.

ax + b > 0

Các trường hợp khác (ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0) giải tương tự.

ax + b < 0

Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:

a) 2x + 5 > 0

b) -3x + 6 ≤ 0

c) 7x – 3 ≥ 0

Giải:

a) 2x + 5 > 0

2x > -5

x > -5/2

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > -5/2.

b) -3x + 6 ≤ 0

-3x ≤ -6

Vậy nghiệm của bất phương trình là x ≥ 2.

c) 7x – 3 ≥ 0

7x ≥ 3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ≥ 3/7.

x ≥ 3/7

Ví dụ 2: Giải bất phương trình:

(x + 2)/3 ≤ (1 - x)/2

Giải:

Ta có:

2(x + 2) ≤ 3(1 - x)

Vậy nghiệm của bất phương trình là x ≤ -1/5.

Dạng 2: Giải và Biện Luận Bất Phương Trình Chứa Tham Số m

Dạng toán này phức tạp hơn, yêu cầu học sinh phải xét nhiều trường hợp của tham số m để đưa ra kết luận chính xác.

Phương pháp:

• Xét các trường hợp của hệ số chứa tham số m. Ví dụ, xét a = 0, a > 0, a < 0.
• Với mỗi trường hợp, giải bất phương trình và kết luận về tập nghiệm.

Ví dụ: Giải và biện luận bất phương trình: (m + 1)x + m + 3 ≥ 4x + 1

(m + 1)x + m + 3 ≥ 4x + 1

Nếu m – 3 = 0 ⇔ m = 3 thì bất phương trình có dạng 5 ≥ 0 (luôn đúng) ⇒ tập nghiệm của bất phương trình là R.

Nếu m – 3 > 0 ⇔ m > 3 thì bất phương trình:

x ≥ (-m - 2)/(m - 3)

Nếu m – 3 < 0 ⇔ m < 3 thì bất phương trình:

x ≤ (-m - 2)/(m - 3)

Kết luận:

• Nếu m = 3 thì tập nghiệm của bất phương trình là R.
• Nếu m > 3 thì bất phương trình có nghiệm là x ≥ (-m – 2)/(m – 3).
• Nếu m < 3 thì bất phương trình có nghiệm là x ≤ (-m – 2)/(m – 3).

Dạng 3: Giải Bất Phương Trình Chứa Ẩn Trong Dấu Giá Trị Tuyệt Đối

Để giải quyết dạng bài tập giải bất phương trình này, cần phải khử dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét các trường hợp hoặc sử dụng các công thức đặc biệt.

Phương pháp:

• Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối:

|x| = x nếu x ≥ 0
|x| = -x nếu x < 0

• Bình phương hai vế (nếu cả hai vế không âm).
• Đặt ẩn phụ.

Ví dụ: Giải bất phương trình: |2x + 1| > 3

|2x + 1| > 3

Giải:

Ta có:

2x + 1 > 3 hoặc 2x + 1 < -3

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 1 hoặc x < -2.

Dạng 4: Giải Bất Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu

Dạng bài tập này đòi hỏi phải xác định điều kiện xác định của bất phương trình trước khi giải.

Phương pháp:

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định (mẫu khác 0).
• Bước 2: Quy đồng và khử mẫu (chú ý đến dấu của mẫu).
• Bước 3: Giải bất phương trình thu được.
• Bước 4: So sánh nghiệm với điều kiện xác định và kết luận.

Ví dụ: Giải bất phương trình: 1/(x – 3) > 0

1/(x - 3) > 0

Giải:

Điều kiện: x ≠ 3

Bất phương trình:

x - 3 > 0

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 3.

x > 3

Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, các em học sinh nên tự giải các bài tập sau:

Bài 1: Giải các bất phương trình sau:

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

Bài 3: Giải các bất phương trình sau:

Bài 4: Giải các bất phương trình sau:

Bài 5: Giải và biện luận các bất phương trình sau:

a) m(x – m) ≤ 4x + 5

b) mx + 6 > 2x + 3m

c) m(x + 1) + x < 4

d) m(x – 1) + 4x ≥ 5

e) m(x – m) > 2(4 – x)

Bài 6: Tìm m để mỗi bất phương trình sau vô nghiệm

a) m(x – m) ≤ x – 1

b) mx + 6 > 2x + 3m

c) (m + 1)x + m < 0

d) mx + 1 > m² + x

Bài 7: Tìm m để mỗi bất phương trình sau có nghiệm

a) m²x + 4m – 3 < x

b) m²x + 1 ≥ m + (3m – 2)x

c) 3 – mx > 2x

d) mx – m² > 4x – 4

Bài 8: Tìm m để bất phương trình mx – 3m + 2 > 0 có nghiệm là x > 0

Bài 9: Tìm m để bất phương trình x + m ≥ 1 có nghiệm là x ≥ -2

Bài 10: Tìm m để bất phương trình 2x – m < 4 có nghiệm là x < 4