Bài viết này cung cấp một cái nhìn toàn diện về Bài Tập đại Lượng Tỉ Lệ Nghịch, một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 7. Chúng ta sẽ đi sâu vào định nghĩa, tính chất và các dạng bài tập thường gặp, kèm theo phương pháp giải chi tiết và ví dụ minh họa dễ hiểu.
1. Lý thuyết cơ bản về đại lượng tỉ lệ nghịch
a) Định nghĩa:
Hai đại lượng x và y được gọi là tỉ lệ nghịch với nhau nếu chúng liên hệ với nhau theo công thức:
y = a/x hoặc x.y = a
Trong đó, a là một hằng số khác 0, được gọi là hệ số tỉ lệ nghịch.
Ví dụ: Vận tốc và thời gian để đi hết một quãng đường cố định là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Khi vận tốc tăng lên, thời gian sẽ giảm xuống và ngược lại.
b) Tính chất:
Nếu hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau thì:
-
Tích của hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi và bằng hệ số tỉ lệ:
x1.y1 = x2.y2 = x3.y3 = ... = a -
Tỉ số giữa hai giá trị bất kỳ của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số giữa hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:
x1/x2 = y2/y1,x1/x3 = y3/y1, …
2. Các dạng bài tập đại lượng tỉ lệ nghịch thường gặp và phương pháp giải
Dạng 1: Nhận biết hai đại lượng tỉ lệ nghịch
- Phương pháp: Kiểm tra xem tích của hai đại lượng có phải là một hằng số hay không. Nếu có, chúng tỉ lệ nghịch với nhau.
Ví dụ: Cho bảng giá trị sau:
| x | 2 | 4 | 5 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 20 | 10 | 8 | 5 | 4 |
Hỏi x và y có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không? Vì sao?
Giải:
Ta thấy: 2.20 = 4.10 = 5.8 = 8.5 = 10.4 = 40
Vậy x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ là 40.
Dạng 2: Tìm giá trị của một đại lượng khi biết giá trị của đại lượng kia và hệ số tỉ lệ
- Phương pháp: Sử dụng công thức
y = a/xhoặcx = a/yđể tìm giá trị cần thiết.
Ví dụ: Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, biết hệ số tỉ lệ là a = 12. Tìm y khi x = 3.
Giải:
Ta có: y = a/x = 12/3 = 4
Vậy khi x = 3 thì y = 4.
Dạng 3: Bài toán thực tế về đại lượng tỉ lệ nghịch
- Phương pháp: Xác định hai đại lượng tỉ lệ nghịch trong bài toán, lập tỉ lệ thức và giải.
Ví dụ: Một đội công nhân có 15 người dự định hoàn thành công việc trong 20 ngày. Hỏi nếu đội công nhân đó có 25 người (với năng suất làm việc như nhau) thì sẽ hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày?
Giải:
Gọi số ngày đội 25 người hoàn thành công việc là x. Vì số người và số ngày hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:
15.20 = 25.x
=> x = (15.20)/25 = 12
Vậy đội công nhân 25 người sẽ hoàn thành công việc trong 12 ngày.
Dạng 4: Chia một số thành các phần tỉ lệ nghịch với các số cho trước
- Phương pháp: Gọi các phần cần tìm là x, y, z,… Thiết lập các tỉ lệ thức dựa trên điều kiện tỉ lệ nghịch và áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
Ví dụ: Chia số 120 thành ba phần tỉ lệ nghịch với 2, 3 và 4.
Giải:
Gọi ba phần cần tìm là x, y, z. Theo đề bài, ta có:
2x = 3y = 4z và x + y + z = 120
=> x/(1/2) = y/(1/3) = z/(1/4) = (x + y + z)/(1/2 + 1/3 + 1/4) = 120/(13/12) = 1440/13
=> x = (1440/13) * (1/2) = 720/13
=> y = (1440/13) * (1/3) = 480/13
=> z = (1440/13) * (1/4) = 360/13
3. Bài tập tự luyện có đáp án
Bài 1: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Khi x = 5 thì y = 8. Tính y khi x = 10.
Đáp án: y = 4
Bài 2: Một xe tải chở 15 chuyến hàng mỗi chuyến 4 tấn. Hỏi nếu xe tải đó chở mỗi chuyến 6 tấn thì cần bao nhiêu chuyến để chở hết số hàng đó?
Đáp án: 10 chuyến
Bài 3: Ba người thợ làm xong một công việc trong 16 giờ. Hỏi nếu có 8 người thợ (với năng suất làm việc như nhau) thì sẽ làm xong công việc đó trong bao nhiêu giờ?
Đáp án: 6 giờ
Bài 4: Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch và y = a/x. Gọi x1, x2 là các giá trị của x và y1, y2 là các giá trị tương ứng của y. Chọn câu đúng:
A. x1/x2 = y1/y2
B. x1.y1 = x2.y2
C. x1 + y1 = x2 + y2
D. x1 – y1 = x2 – y2
Đáp án: B
4. Bài tập trắc nghiệm đại lượng tỉ lệ nghịch
Bài 1: Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = a/x (a là hằng số khác 0) thì:
A. y tỉ lệ thuận với x
B. y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a
C. x tỉ lệ thuận với y
D. Cả A, B, C đều sai
Đáp án: B
Bài 2: Cho bảng sau:
| x | 2 | 3 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| y | 12 | 8 | 6 | 4 |
Kết luận nào sau đây là đúng?
A. x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận
B. x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch
C. x và y không tỉ lệ thuận cũng không tỉ lệ nghịch
D. Không xác định được mối quan hệ giữa x và y
Đáp án: B
Alt text: Bảng giá trị thể hiện mối quan hệ giữa x và y trong bài tập đại lượng tỉ lệ nghịch, minh họa cách xác định tỉ lệ nghịch qua các giá trị.
Bài 3: Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau. Khi x = -2 thì y = 5. Khi đó hệ số tỉ lệ a là:
A. a = -10
B. a = 10
C. a = 2/5
D. a = -2/5
Đáp án: A
Bài 4: Một đội sản xuất có 20 công nhân dự định hoàn thành một công việc trong 30 ngày. Nếu muốn hoàn thành công việc đó trong 20 ngày thì cần bao nhiêu công nhân? (Giả sử năng suất làm việc của mỗi công nhân là như nhau).
A. 10 công nhân
B. 20 công nhân
C. 30 công nhân
D. 40 công nhân
Đáp án: C
Alt text: Minh họa bài toán thực tế về đại lượng tỉ lệ nghịch liên quan đến số lượng công nhân và thời gian hoàn thành công việc.
Bài 5: Cho x và y tỉ lệ nghịch theo hệ số a; y và z tỉ lệ nghịch theo hệ số b. Hỏi x và z là hai đại lượng tỉ lệ thuận hay nghịch và hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?
A. Tỉ lệ thuận, hệ số a/b
B. Tỉ lệ nghịch, hệ số a/b
C. Tỉ lệ thuận, hệ số a*b
D. Tỉ lệ nghịch, hệ số a*b
Đáp án: A
5. Kết luận
Hiểu rõ về bài tập đại lượng tỉ lệ nghịch là vô cùng quan trọng trong chương trình Toán lớp 7. Bằng cách nắm vững lý thuyết và luyện tập các dạng bài tập khác nhau, bạn sẽ dễ dàng giải quyết các bài toán liên quan và áp dụng kiến thức này vào thực tế một cách hiệu quả. Chúc các bạn học tốt!