A. Các Phương Pháp Chứng Minh Tứ Giác Nội Tiếp
Để chứng minh một tứ giác là nội tiếp (tức là có một đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của tứ giác), ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
-
Tổng hai góc đối bằng 180 độ: Chứng minh tổng số đo của hai góc đối nhau trong tứ giác bằng 180°.
-
Các đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới một góc không đổi: Chứng minh hai đỉnh kề nhau của tứ giác cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới các góc bằng nhau.
-
Sử dụng quỹ tích cung chứa góc: Xác định quỹ tích cung chứa góc và chứng minh các đỉnh của tứ giác thuộc quỹ tích đó.
-
Chứng minh thông qua đường tròn: Dựa vào các tính chất của đường tròn (ví dụ: các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau) để suy ra tứ giác nội tiếp.
B. Bài Tập Tự Luận Về Tứ Giác Nội Tiếp
Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BCEF nội tiếp.
b) HA.HD = HB.HE = HC.HF.
Hướng dẫn giải
a) Ta có ∠BEC = ∠BFC = 90°.
Suy ra các điểm E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác BCEF nội tiếp (hai đỉnh E và F kề nhau cùng nhìn cạnh BC dưới một góc 90°).
b) Vẽ đường tròn đường kính BC. Xét ΔBHF và ΔCHE có:
+) ∠EBF = ∠ECF (hai góc nội tiếp cùng chắn ).
+) ∠FHB = ∠EHC (đối đỉnh).
Suy ra ΔBHF ∼ ΔCHE (g.g).
BH/CH = HF/HE hay HB.HE = HC.HF (1)
Chứng minh tương tự ta có:
HA.HD = HB.HE (2)
Từ (1) và (2) suy ra: HA.HD = HB.HE = HC.HF.
Bài 2: Cho ΔABC nhọn, đường cao AH. Các điểm M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC. Chứng minh rằng:
a) AM.AB = AN.AC.
b) Tứ giác BMNC nội tiếp.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: ∠AMH = ∠ANH = 90° (gt)
Suy ra các điểm M, N cùng thuộc đường tròn đường kính AH nên:
∠AMN = ∠AHN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN)
Mặt khác: ∠AHN = ∠ACH
Do đó ΔAMN ∼ ΔACB (g.g) => AM/AC = AN/AB hay AM.AB = AN.AC.
b) Theo chứng minh câu a) ta có:
∠AMN = ∠ACH
Suy ra ∠BMN + ∠ACH = ∠BMN + ∠AMN = 180°
Vậy tứ giác BMNC nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180°).
Bài 3: Cho tam giác ABC có góc A < 90°. Các điểm O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải
Gọi D là giao điểm khác của A của đường thẳng AI với đường tròn ngoại tiếp ΔABC .
Ta có: ∠BID = ∠IAB + ∠ABI = 1/2 ∠A + 1/2 ∠B
∠CID = ∠IAC + ∠ACI = 1/2 ∠A + 1/2 ∠C
Do đó: ∠BIC = ∠BID + ∠CID = 1/2 ∠A + 1/2∠B + 1/2∠C + 1/2∠A =1/2∠A + 90°
Mặt khác: ∠BOC = 2∠A < 180°.
Do đó hai điểm I và O cùng nhìn đoạn BC dưới những góc bằng nhau. Ngoài ra hai điểm I và O cùng thuộc nửa mặt phẳng chứa A, bờ BC. Do đó B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn.
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn có ∠A > ∠B > ∠C. Đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với cạnh AB, AC tại M và N. Gọi P và Q lần lượt là các giao điểm của CI, BI với đường thẳng MN. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác INQC nội tiếp.
b) Tứ giác BPQC nội tiếp.
Hướng dẫn giải
a) Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AB, AC tại M và N nên AM = AN
=> ΔAMN cân tại A.
Ta có: ∠CNQ = ∠ANM (đối đỉnh)
= (180° – ∠A)/2 =(∠B + ∠C)/2
=∠IBC + ∠ICB = ∠CIQ
Tứ giác INQC có hai điểm liên tiếp I và N cùng nhìn cạnh QC dưới các góc bằng nhau nội tiếp được một đường tròn.
b) Vì INQC là tứ giác nội tiếp nên ∠INC = ∠IQC
Vì AC tiếp xúc với đường tròn (I) tại N nên IN ⊥ AC hay ∠INC = 90°
Suy ra ∠IQC = 90° (1)
Chứng minh tương tự câu a) ta có tứ giác IMPB nội tiếp
=> ∠IMB = ∠IPB = 90° (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ∠BPC = ∠BQC = 90° nên tứ giác BPQC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD có ∠BAD = 90°, có tâm là O. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên BD, AD, AB. Chứng minh bốn điểm M, N, P, O cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải
Ta có: ∠CPA = ∠CNA = 90° (gt) nên tứ giác ANCP nội tiếp đường tròn (O) đường kính AC.
Suy ra ∠PON = 2∠PCN
Lại có: ∠PCN + ∠NAP = 180°
=> ∠PCN = 180° – ∠NAP = ∠ABC (do AD // BC)
Do đó ∠PON = 2∠ABC (1)
Mặt khác ∠PMN = 180° – (∠PMB + ∠NMD)
Mà tứ giác CDNM nội tiếp đường tròn đường kính CD nên:
∠NMD = ∠NCD = 90° – ∠CDN = 90° – ∠ABC
Lại có tứ giác BCMP nội tiếp đường tròn đường kính BC nên:
∠PMB = ∠PCB = 90° – ∠ABC
=> ∠PCB = 180° – (90° – ∠ABC + 90° – ∠ABC) = 2∠ABC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ∠PON = ∠PMN do đó tứ giác POMN nội tiếp.
C. Mở Rộng và Nâng Cao
Để nâng cao kỹ năng giải Bài Tập Chứng Minh Tứ Giác Nội Tiếp, bạn nên:
- Luyện tập nhiều dạng bài tập khác nhau: Không chỉ tập trung vào các bài tập cơ bản, hãy tìm kiếm và giải các bài tập phức tạp hơn để rèn luyện tư duy.
- Tìm hiểu các định lý và tính chất liên quan: Nắm vững các định lý về góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, các tính chất của tứ giác nội tiếp,…
- Sử dụng phần mềm hình học: Các phần mềm như Geogebra có thể giúp bạn vẽ hình, kiểm tra tính đúng sai của bài giải và khám phá các tính chất hình học.
- Tham khảo các tài liệu chuyên sâu: Đọc sách, báo và các tài liệu trực tuyến về chuyên đề tứ giác nội tiếp để mở rộng kiến thức.
- Thảo luận với bạn bè và thầy cô: Trao đổi ý tưởng và kinh nghiệm giải toán với những người khác để học hỏi và cải thiện kỹ năng của mình.
Chúc các bạn học tốt và chinh phục thành công các bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp!
