Chứng minh hai tam giác bằng nhau là một kỹ năng quan trọng trong hình học. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết cùng các ví dụ và bài tập tự luyện giúp bạn nắm vững phương pháp chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh (c.g.c), một trong những trường hợp cơ bản nhất.
1. Phương Pháp Chứng Minh Hai Tam Giác Bằng Nhau Theo Trường Hợp Cạnh – Góc – Cạnh (c.g.c)
Để chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh, ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Xét hai tam giác cần chứng minh. Ghi rõ tên hai tam giác.
- Bước 2: Chỉ ra hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau. Điều này thường dựa vào giả thiết hoặc chứng minh được từ các yếu tố khác của bài toán.
- Bước 3: Chứng minh góc xen giữa hai cặp cạnh đó bằng nhau. Góc này phải là góc tạo bởi hai cạnh đã chứng minh bằng nhau ở bước 2.
- Bước 4: Kết luận hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.g.c. Lưu ý viết đúng thứ tự các đỉnh tương ứng của hai tam giác để thể hiện sự tương ứng giữa các cạnh và góc.
2. Ứng Dụng Trường Hợp Bằng Nhau Cạnh – Góc – Cạnh Để Giải Quyết Các Bài Toán
Trường hợp bằng nhau c.g.c không chỉ dùng để chứng minh hai tam giác bằng nhau, mà còn là công cụ để chứng minh các cạnh, các góc bằng nhau, hoặc tính độ dài cạnh, số đo góc chưa biết. Quy trình thực hiện như sau:
- Bước 1: Xác định hai tam giác chứa các yếu tố cần chứng minh (cạnh, góc) hoặc tính toán.
- Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau theo trường hợp c.g.c.
- Bước 3: Suy ra các cạnh, góc tương ứng bằng nhau, hoặc tính được độ dài cạnh, số đo góc cần tìm.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM là tia phân giác của góc BAC.
Giải:
- Xét ∆ABM và ∆ACM có:
- AB = AC (giả thiết)
- AM là cạnh chung
- BM = CM (M là trung điểm của BC)
- => ∆ABM = ∆ACM (c.c.c)
- => BAM^ = CAM^ (hai góc tương ứng)
- Vậy AM là tia phân giác của góc BAC.
Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB. Vẽ các tia Ax và By vuông góc với AB tại A và B (Ax, By nằm cùng phía đối với AB). Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia By lấy điểm D sao cho AC = BD. Chứng minh rằng AD = BC.
Giải:
- Xét ∆ABD và ∆BAC có:
- AB là cạnh chung
- ABD^ = BAC^ = 90°
- BD = AC (giả thiết)
- => ∆ABD = ∆BAC (c.g.c)
- => AD = BC (hai cạnh tương ứng)
Ví dụ 3: Qua trung điểm I của đoạn thẳng AB, kẻ đường thẳng vuông góc với AB, trên đường thẳng vuông góc đó lấy hai điểm C và D. Nối CA, CB, DA, DB. Tìm các cặp tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.
Hướng dẫn giải
Vì C nằm trên đường thẳng vuông góc với AB tại I nên ta có:
Vì D nằm trên đường thẳng vuông góc với AB tại I nên ta có:
+) Xét tam giác ADI và tam giác BDI có:
DI là cạnh chung,
DIA^=DIB^=90° (chứng minh trên),
AI = BI (do I là trung điểm của AB),
Do đó ∆ADI = ∆BDI (c.g.c)
+) Xét tam giác ACI và tam giác BCI có:
CI là cạnh chung,
CIA^=CIB^=90° (chứng minh trên),
AI = BI (do I là trung điểm của AB),
Do đó ∆ACI = ∆BCI (c.g.c)
Suy ra AC = BC (hai cạnh tương ứng) và (hai góc tương ứng)
+) Xét tam giác ACD và tam giác BCD có:
AC = BC (chứng minh trên),
ACD^=BCD^ (do ACI^=BCI^ ),
CD là cạnh chung
Do đó ∆ACD = ∆BCD (c.g.c).
3. Bài Tập Tự Luyện
Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử sức với các bài tập sau. Các bài tập này đều có lời giải, giúp bạn kiểm tra và hoàn thiện kỹ năng chứng minh hình học của mình.
Bài 1. Cho tam giác ABC và tam giác DEF có AB = DE, AC = DF, A^ = D^. Chứng minh rằng tam giác ABC bằng tam giác DEF.
Bài 2. Cho góc xOy. Trên cạnh Ox lấy điểm A, trên cạnh Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng OM là tia phân giác của góc xOy.
Bài 3. Cho hình vuông ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Chứng minh rằng DE = AF.
Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh rằng BE = CD.
Bài 5. Cho hình vẽ dưới đây:
Chứng minh rằng AO là tia phân giác của góc BAC. Biết OB = OC và AB = AC.
Bài 6. Cho tam giác nhọn ABC, M là trung điểm của BC. Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt đường thẳng AM tại D. Trên tia MA lấy điểm E sao cho ME = MD. CE cắt AB tại K. Chứng minh:
a) ∆EMC = ∆DMB;
b) ∆AKE vuông tại K.
Hướng dẫn giải
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
a) Xét tam giác EMC và tam giác DMB có:
ME = MD (giả thiết),
EMC^=DMB^ (hai góc đối đỉnh),
MB = MC (do M là trung điểm của BC)
Do đó ∆EMC = ∆DMB (c.g.c)
Vậy ∆EMC = ∆DMB.
b) Vì ∆EMC = ∆DMB (chứng minh câu a)
Suy ra CEM^=BDM^ (hai góc tương ứng)
Lại có CEM^=AEK^ (hai góc đối đỉnh)
Nên AEK^=BDM^=BDA^
Mà BDA^+BAD^=90° (trong tam giác ABD vuông tại B, hai góc nhọn phụ nhau)
Do đó AEK^+KAE^=90°
Xét tam giác AKE có: AEK^+KAE^+AKE^=180°(tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra AKE^=180°−AEK^+KAE^
Hay AKE^=180°−90°=90°
Vậy tam giác AKE vuông tại K.
Lời kết:
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và các bài tập có lời giải trên, bạn sẽ tự tin hơn khi gặp các bài toán chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh. Hãy luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải toán hình học của mình.
