Bài viết này cung cấp tuyển tập các Bài Tập ánh Xạ Có đáp án, được chọn lọc và biên soạn kỹ lưỡng để giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập về ánh xạ. Các bài tập được trình bày một cách chi tiết, dễ hiểu, kèm theo lời giải thích rõ ràng, giúp bạn tự tin chinh phục mọi bài toán liên quan đến ánh xạ.
VD1: Cho ánh xạ f : R → R xác định bởi f(x) = 2x + 1. Tìm f(1), f-1(1), f(0), f(1), f-1([1;17]), f([0;1]).
Giải:
- f(1) = 2 * 1 + 1 = 3
- f-1(1) = {x ∈ R / f(x) = 1} = {x ∈ R / 2x + 1 = 1} = {0}
- f(0) = 2 * 0 + 1 = 1
- f(1) = 2 * 1 + 1 = 3
- f-1([1;17]) = {x ∈ R / 1 ≤ f(x) ≤ 17} = {x ∈ R / 1 ≤ 2x + 1 ≤ 17} = {x ∈ R / 0 ≤ 2x ≤ 16} = {x ∈ R / 0 ≤ x ≤ 8} = [0;8]
- f([0;1]) = {f(x) / 0 ≤ x ≤ 1}.
Ta có: 0 ≤ x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 2x ≤ 2 ⇔ 1 ≤ 2x + 1 ≤ 3. Vậy f([0;1]) = [1;3]
Ảnh minh họa cho ánh xạ tuyến tính f(x) = 2x + 1, thể hiện sự biến đổi của miền giá trị đầu vào [0; 1] thành miền giá trị đầu ra [1; 3].
VD2: Chứng minh rằng ánh xạ f : R → R xác định bởi f(x) = 2x + 1 là song ánh và tìm ánh xạ ngược.
Giải:
- ∀ x1, x2 ∈ R mà x1 ≠ x2 ⇒ 2x1 + 1 ≠ 2x2 + 1 ⇔ x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) ⇒ f là đơn ánh.
- ∀ y ∈ R, f(x) = y ⇔ 2x + 1 = y ⇔ x = (y – 1)/2 ⇒ x = (y-1)/2 ∈ R
Vậy, ∀ y ∈ R, ∃ x = (y-1)/2 ∈ R, f(x) = y ∈ R ⇒ f là toàn ánh - Từ (1) và (2), suy ra f là song ánh.
Cách 2: Ánh xạ ngược f-1 : R → R: y → x = (y – 1)/2 là ánh xạ ngược của f.
∀ y ∈ R, xét phương trình y = f(x) ⇔ y = 2x + 1 ⇔ x = (y – 1)/2. Như vậy ∀ y ∈ R, phương trình y = f(x) có nghiệm duy nhất là x = (y – 1)/2 nên f là song ánh.
VD3: Cho ánh xạ f : R → R, x → f(x) = 3x2 – x – 2
Đồ thị hàm số f(x) = 3x^2 – x – 2 trực quan hóa tính không đơn ánh và không toàn ánh của ánh xạ, với giá trị nhỏ nhất đạt được nhưng không bao phủ toàn bộ tập số thực R.
a) f có phải là song ánh không? Tại sao?
b) Tìm f(0), f(1), f([0;1]), f([0;2])
Giải:
a) Ta có: f(-b/2a) = f(1/6) = 3*(1/6)2 – 1/6 – 2 = -25/12
Với y = -3, xét phương trình f(x) = -3 ⇔ 3x2 – x – 2 = -3 ⇔ 3x2 – x + 1 = 0. Δ = 1 – 4.3 = -11 < 0 ⇒ Phương trình vô nghiệm
Như vậy với y = -3 ⇒ Phương trình f(x) = -3 vô nghiệm nên f không phải là toàn ánh ⇒ f cũng không phải là song ánh.
Xét tính đơn ánh:
Ta có: f(x) = -2 ⇔ 3x2 – x – 2 = -2 ⇔ 3x2 – x = 0 ⇔ x(3x – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1/3
Như vậy với x1 = 0, x2 = 1/3, ta có x1 ≠ x2 nhưng f(x1) = f(x2) = -2. Vậy f không phải là đơn ánh.
c) f(0) = -2, f(1) = 0, f([0;1]) = [min f(x), max f(x)], x ∈ [0;1].
Trong đó: min f(x) = min {f(0), f(1), f(1/6)} = min {-2, 0, -25/12} = -25/12, x ∈ [0;1]
max f(x) = max {f(0), f(1), f(1/6)} = max {-2, 0, -25/12} = 0 x ∈ [0;1]
Vậy f([0;1]) = [-25/12; 0]
f-1([0;2]) = {x ∈ R / f(x) ∈ [0, 2]} = {x ∈ R / 0 ≤ f(x) ≤ 2}
Ta có: 0 ≤ f(x) ≤ 2 ⇔ {f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 2} ⇔ {3x2 – x – 2 ≥ 0, 3x2 – x – 2 ≤ 2} ⇔ {3x2 – x – 2 ≥ 0, 3x2 – x – 4 ≤ 0} ⇔ …
VD4: Ánh xạ f : R → R xác định bởi f(x) = 3x / (x2 + 1) có phải là đơn ánh, toàn ánh không?
Giải:
- Xét tính đơn ánh:
∀ x1, x2 ∈ R, ta có: f(x1) = f(x2) ⇔ 3x1 / (x12 + 1) = 3x2 / (x22 + 1) ⇔ 3x1(x22 + 1) = 3x2(x12 + 1) ⇔ 3x1x22 + 3x1 = 3x2x12 + 3x2 ⇔ x1x22 + x1 = x2x12 + x2 ⇔ x1x2(x2 – x1) – (x2 – x1) = 0 ⇔ (x1 – x2)(1 – x1x2) = 0 ⇔ x1 = x2 hoặc x1x2 = 1
Ảnh minh họa đồ thị hàm số f(x) = 3x / (x^2 + 1) cho thấy hàm số này không phải là đơn ánh (do có thể có nhiều giá trị x cho cùng một giá trị y) và cũng không phải là toàn ánh (do không phủ hết tập số thực R).
Chọn x1 = 3, x2 = 1/3, ta có x1 ≠ x2 nhưng f(x1) = f(3) = 9/10; f(x2) = f(1/3) = 9/10 ⇒ f(x1) = f(x2) nên f không phải là đơn ánh.
- Xét tính toàn ánh:
∀ y ∈ R, xét phương trình y = f(x) ⇔ y = 3x / (x2 + 1) ⇔ yx2 – 3x + y = 0
Nếu y = 0, phương trình có nghiệm x = 0
Nếu y ≠ 0 thì Δ = 9 – 4y2, chọn y = 2 ta có Δ < 0 nên pt vô nghiệm. Vậy với y = 2 ⇒ pt f(x) = 2 vô nghiệm. Nên f không phải là toàn ánh.
Bài tập:
Bài 1: Cho f : R → R, f(x) = x2 – 3x + 1
a) Hỏi f có phải là đơn ánh, toàn ánh, song ánh không? Tại sao?
b) Tìm f([-1;2]); f-1([-1;2]); f-1([-1;1])
Bài 2: Cho ánh xạ f : R → R, xác định bởi f(x) = 5x – 2. Chứng minh f là song ánh và tìm ánh xạ ngược
Bài 3: Cho ánh xạ f : R → R với f(x) = 3x + 2. Chứng minh f là một song ánh. Tìm f([0;2]), f-1([0;2]), f([2; +∞))
Bài 4: Cho ánh xạ f : R → R, xác định bởi f(x) = x3 + 1. Chứng minh f là song ánh và tìm ánh xạ ngược
Bài 5: Cho f : R → R, x → y = 3x2 + 1. f có là một song ánh không? Tìm f([-2;1]), f-1([0;3])
Bài 6: Cho ánh xạ f : R → R với f(x) = 2x3 + 7 chứng minh f là một song ánh. Tìm f([0;2]), f-1([-5;11])
Bài 7: Cho ánh xạ f : R → R, xác định bởi f(x) = 3x3 + 1. Chứng minh f là song ánh và tìm ánh xạ ngược. Tìm f-1([1;2])
Bài 8: Ánh xạ f : R {2} → R xác định bởi f(x) = (3x + 1) / (x – 2) có phải là đơn ánh, toàn ánh không? song ánh không?
Bài 9: Cho ánh xạ f : R {1} → R, f(x) = (5x – 2) / (x – 1), xét tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh.
Bài 10: Cho ánh xạ: f : R → R, f(x) = x2 + 1 – 1. Xét tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh.
Bài 11: Cho ánh xạ f : R → R, f(x) = x2 + 2. Xét tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh.
Bài 12: Cho ánh xạ: f : R+ → R, f(x) = x2 + 1. Xét tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh.
Bài 13: Cho ánh xạ: f : R2 → C: f(x, y) = (2x – y) + (2y + x)i. Hỏi f* có là song ánh không?
Bài 14: Cho ánh xạ f : [-π/2; 2π] → [-1; 1], x → f(x) = cosx
a) f có là đơn ánh, toàn ánh, song ánh?
b) Tìm f-1({-1/2; √3/2})
Bài 15: Cho ánh xạ f : R → R+: f(x) = x2. Xét tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh.
Bài 16: Cho ánh xạ f từ [2; +∞) vào R xác định bởi f(x) = √(x – 2). f có phải là đơn ánh? Toàn ánh? Song ánh?
Bài 17: Xét sự đơn ánh, toàn ánh, song ánh của ánh xạ: f : [0; π/2] x [0; π/4] → [0; 1] x [√2; 2] với f(x, y) = (sin2x, 2cosy)
Bài 18: Cho ánh xạ: f : R2 → R2, f(x) = {x – 1; x + 1}. Tìm f(R), f-1(A), biết A = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 4}
Bài 19: Cho ánh xạ: f : R2 → R2 x → f(x) = (3x + 1; 3x2 + x). Cho tập A = [0; 4) x (-∞; 2], xác định f-1(A)
Bài 20: Cho ánh xạ: f : R2 → R2, (x, x) → f(x, x) = (2x + x – 1; x + 2x + 1)
Chứng minh f là đơn ánh
Bài 21: Cho ánh xạ: f : R2 → R2 xác định bởi f(x, x) = (x + x, 2x – x)
a) Chứng minh f song ánh
b) Tìm f-1(1; 1). Xác định f-1(y, y)
Bài 22: Cho ánh xạ: f : R2 → R2, f(x, y) = (x – 2y, 2x + y)
a) Chứng minh f là một song ánh
b) Cho tập A = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 45}. Tìm nghịch ảnh f-1(A)
Bài 23: Cho ánh xạ: f : C → C f(z) = iz + (4 – i)z – 9i, i là đơn vị ảo. Xác định f-1({7})
Bài 24: Cho ánh xạ: f : [m; 2] → R, f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 1. Xác định m để f là một đơn ánh
Bài 25: Cho ánh xạ: f : R → R, xác định bởi f(x) = x2 + 2x – 1 và tập hợp A = {2; 1; -3}. Xác định tập ảnh f(A) và tập nghịch ảnh f-1(A)
PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN, TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI CÁC NĂM GẦN NHẤT
Câu 1. Cho ánh xạ f : R → R với f(x) = x3 + 2x2 + 4, ∀ x ∈ R
a. Tính f([0; 1]).
b. Chứng minh rằng ánh xạ này không toàn ánh.
Câu 2. Cho ánh xạ f : R2 → R2 với f(x, y) = (x – y; x + y). Tính f(A) với A = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y2 = 1}.
Câu 3. Cho ánh xạ f : [m; 2] → R với f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 1. Xác định m để f là đơn ánh.
Câu 4. Cho ánh xạ f : R → R với f(x) = x2 – 3x + 2. Xác định f-1((0; 2]).
Câu 5. Cho ánh xạ f : R2 → R2 với f(x, y) = (x – y; x + y). Ánh xạ f có là đơn ánh, toàn ánh hay không? Tại sao?
Câu 6. Cho A = {(x, y) ∈ R2 ; x ≥ 0} và ánh xạ f : R2 → A với f(x, y) = (x; x + y). Ánh xạ f có là toàn ánh không? Tạo sao?
Câu 7. Xác định tập A ⊂ R2 để ánh xạ f : [0; π/4] x [0; π] → A với f(x, y) = (sin x + cos x; 2 cos y) là song ánh.
Câu 8. Cho ánh xạ f : R → R với f(x) = x3 – 4x. Xác định a, b biết f-1({a}) = {0; 2; b}.
Câu 9. Cho ánh xạ f : R {-1} → R với f(x) = (x + 1) / (x + 1). Xác định f-1((0; 1]).
Câu 10. Xác định tập A ⊂ R2 để ánh xạ f : A → [-1; 1] x (0; +∞) với f(x, y) = (sin x; ey) là song ánh.
Câu 11. Cho ánh xạ f : R {1} → R với f(x) = (x + 1) / (x – 1). Xác định f-1((0; 1]).
Câu 12. Cho ánh xạ f : R2 → R2 với f(x, y) = (x + ay; x – y). Xác định tất cả các giá trị của a để f là song ánh.
Câu 13. Cho ánh xạ f : R → R với f(x) = x3 – 3x. Tính f(A) và f-1(A) với A = {x ∈ R ; -2 < x ≤ 4}.
Câu 14. Cho ánh xạ f : R2 → R2 với f(x, y) = (x; x + y). Chứng minh f là song ánh.
Câu 15. Cho ánh xạ f : C → C với f(z) = 2z + 2 + 3i và A ={z ∈ C ; z ≤ 1}. Tìm và biểu diễn f(A) trên mặt phẳng phức.
Câu 16. Cho ánh xạ f : R → R với f(x) = 2x + 1 có đơn ánh không? Có toàn ánh không? Tạo sao?
Câu 17. Cho ánh xạ f : C → C với f(z) = z (m – i) + 12 – 6i, m ∈ R
a. Tính m để ánh xạ f là ánh xạ toàn ánh
b. Khi m = 1, tìm f(((1 + i) / √3)6)
Hy vọng bài viết này hữu ích cho việc học tập và ôn luyện của bạn! Chúc bạn thành công!
