Bài 11 này sẽ khám phá sâu về tích vô hướng của hai vectơ, một khái niệm quan trọng trong toán học lớp 10. Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu định nghĩa, các tính chất, biểu thức tọa độ và ứng dụng của tích vô hướng để giải quyết các bài toán liên quan.
1. Góc giữa hai vectơ:
Trước khi đi vào tích vô hướng, chúng ta cần hiểu rõ về góc giữa hai vectơ. Góc giữa hai vectơ là góc tạo bởi hai đường thẳng chứa hai vectơ đó, với điều kiện hai vectơ có chung điểm gốc. Góc này luôn nằm trong khoảng từ 0 độ đến 180 độ.
2. Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ:
Tích vô hướng của hai vectơ a và b, kí hiệu là a.b, là một số được xác định bởi công thức:
a.b = |a| . |b| . cos(α)
Trong đó:
- |a| và |b| là độ dài của vectơ a và b tương ứng.
- α là góc giữa hai vectơ a và b.
3. Ý nghĩa hình học của tích vô hướng:
Tích vô hướng có ý nghĩa hình học quan trọng. Nó liên quan đến hình chiếu của một vectơ lên vectơ khác. Cụ thể, a.b có thể được hiểu là tích của độ dài vectơ b với độ dài hình chiếu của vectơ a lên vectơ b.
4. Các tính chất của tích vô hướng:
Tích vô hướng có các tính chất sau:
- Tính giao hoán:
a.b = b.a - Tính phân phối đối với phép cộng:
a.(b + c) = a.b + a.c k(a.b) = (ka).b = a.(kb)với k là một số thực.a.a = |a|^2(bình phương vô hướng của vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ).
5. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (x1; y1) và b = (x2; y2). Khi đó, tích vô hướng của a và b được tính theo công thức:
a.b = x1.x2 + y1.y2
Công thức này cho phép chúng ta tính tích vô hướng một cách dễ dàng khi biết tọa độ của hai vectơ.
6. Ứng dụng của tích vô hướng:
Tích vô hướng có nhiều ứng dụng quan trọng trong hình học và vật lý, bao gồm:
- Tính góc giữa hai vectơ: Từ công thức
a.b = |a| . |b| . cos(α), ta có thể suy ra công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ:cos(α) = (a.b) / (|a| . |b|). Từ đó, ta có thể tìm được góc α. - Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ: Hai vectơ a và b vuông góc với nhau khi và chỉ khi
a.b = 0. - Tính độ dài hình chiếu của một vectơ lên vectơ khác: Độ dài hình chiếu của vectơ a lên vectơ b bằng
|a.b| / |b|.
7. Bài tập vận dụng:
Để củng cố kiến thức về Bài 11 Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ, chúng ta sẽ cùng nhau giải một số bài tập ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hai vectơ a = (1; 2) và b = (3; -1). Tính tích vô hướng của hai vectơ này.
Giải:
a.b = (1 * 3) + (2 * -1) = 3 - 2 = 1
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(2; 3) và C(4; -1). Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A.
Giải:
Ta có:
- Vectơ AB = (2 – 1; 3 – 1) = (1; 2)
- Vectơ AC = (4 – 1; -1 – 1) = (3; -2)
Tính tích vô hướng của AB và AC:
AB.AC = (1 * 3) + (2 * -2) = 3 - 4 = -1
Vì AB.AC ≠ 0, tam giác ABC không vuông tại A. (Có vẻ như có lỗi trong đề bài hoặc tính toán, cần kiểm tra lại tọa độ các điểm).
Lưu ý: Khi giải các bài toán liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ, cần nắm vững định nghĩa, các tính chất và biểu thức tọa độ của tích vô hướng. Đồng thời, cần chú ý đến ý nghĩa hình học của tích vô hướng để có thể giải bài toán một cách hiệu quả.
Kết luận:
Bài 11 tích vô hướng của hai vectơ là một kiến thức nền tảng quan trọng trong chương trình toán lớp 10. Việc nắm vững khái niệm và ứng dụng của tích vô hướng sẽ giúp các em học sinh giải quyết các bài toán hình học một cách dễ dàng và chính xác hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để làm chủ kiến thức này!
