1. Định nghĩa về cực tiểu của hàm số
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) và điểm x₀ ∈ (a; b).
Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀ nếu tồn tại một khoảng (x₀ – h; x₀ + h) ⊂ (a; b) với h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) và x ≠ x₀.
Lưu ý:
- x₀ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x).
- f(x₀) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f(x), ký hiệu là fCT hay yCT.
- Điểm M(x₀; f(x₀)) được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Cực trị là cách gọi chung cho cả cực đại và cực tiểu của hàm số. Bài viết này tập trung vào việc Tìm Giá Trị Cực Tiểu Của Hàm Số.
2. Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực tiểu
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x₀ và có đạo hàm trên các khoảng (a; x₀) và (x₀; b).
-
Điều kiện cần: Nếu f(x) đạt cực tiểu tại x₀ thì f'(x₀) = 0 (nếu f'(x₀) tồn tại).
-
Điều kiện đủ:
- Nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ (a; x₀) và f'(x) > 0 với mọi x ∈ (x₀; b) thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x). (f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x₀).
- Nếu f'(x₀) = 0 và f”(x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số f(x).
3. Các bước tìm giá trị cực tiểu của hàm số
Để tìm giá trị cực tiểu của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
- Bước 2: Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm xᵢ mà tại đó f'(xᵢ) = 0 hoặc f'(xᵢ) không tồn tại. Các điểm này được gọi là điểm tới hạn.
- Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số. Bảng biến thiên thể hiện dấu của f'(x) trên các khoảng xác định.
- Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, xác định các điểm cực tiểu (nơi f'(x) đổi dấu từ âm sang dương).
- Bước 5: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực tiểu. Đây chính là giá trị cực tiểu của hàm số.
Alt: Bảng biến thiên hàm số thể hiện sự đổi dấu của đạo hàm và điểm cực trị
4. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm giá trị cực tiểu của hàm số y = x³ – 3x² – 9x + 2.
- Bước 1: Tập xác định: D = ℝ.
- Bước 2: Tính đạo hàm: y’ = 3x² – 6x – 9.
Giải phương trình y’ = 0 ta được: x = -1 hoặc x = 3. - Bước 3: Lập bảng biến thiên:
| x | -∞ | -1 | 3 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y’ | + | 0 | – | |
| y | ||||
| 6 | -25 |
- Bước 4: Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 3.
- Bước 5: Tính giá trị cực tiểu: yCT = y(3) = 3³ – 3(3²) – 9(3) + 2 = -25.
Vậy, giá trị cực tiểu của hàm số là -25.
Ví dụ 2: Tìm giá trị cực tiểu của hàm số y = x⁴ – 2x² + 2.
- Bước 1: Tập xác định: D = ℝ.
- Bước 2: Tính đạo hàm: y’ = 4x³ – 4x.
Giải phương trình y’ = 0 ta được: x = -1 hoặc x = 0 hoặc x = 1. - Bước 3: Lập bảng biến thiên:
| x | -∞ | -1 | 0 | 1 | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| y’ | – | 0 | + | 0 | |
| y | |||||
| 1 | 2 |
- Bước 4: Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và x = 1.
- Bước 5: Tính giá trị cực tiểu: yCT = y(-1) = (-1)⁴ – 2(-1)² + 2 = 1. Tương tự y(1)=1
Vậy, giá trị cực tiểu của hàm số là 1.
Alt: Bảng biến thiên minh họa hàm số bậc 4 trùng phương có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại
Ví dụ 3: Tìm giá trị cực tiểu của hàm số y = (x+3)/(x-1).
- Bước 1: Tập xác định: D = ℝ {1}.
- Bước 2: Tính đạo hàm: y’ = -4/(x-1)².
y’ luôn âm trên tập xác định (trừ điểm x=1). - Bước 3: Lập bảng biến thiên:
| x | -∞ | 1 | +∞ |
|---|---|---|---|
| y’ | – | – | |
| y |
- Bước 4: Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số không có cực trị. Vì vậy, không có giá trị cực tiểu.
Ví dụ 4: Tìm giá trị cực tiểu của hàm số y = (x²-2x+9)/(x-2).
- Bước 1: Tập xác định: D = ℝ {2}.
- Bước 2: Tính đạo hàm: y’ = (x²-4x-5)/(x-2)².
Giải phương trình y’ = 0 ta được: x = -1 hoặc x = 5. - Bước 3: Lập bảng biến thiên:
| x | -∞ | -1 | 2 | 5 | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| y’ | + | 0 | – | – | |
| y |
- Bước 4: Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 5.
- Bước 5: Tính giá trị cực tiểu: yCT = y(5) = (5² – 2(5) + 9)/(5 – 2) = 8.
Vậy, giá trị cực tiểu của hàm số là 8.
Alt: Bảng biến thiên hàm số với một cực đại tại x=-1 và một cực tiểu tại x=5
5. Bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm các điểm cực trị và giá trị cực tiểu của mỗi hàm số sau:
a) y = x³ – 6x² + 9x – 2;
b) y = x⁴ + 2x² – 2;
c) y = (x²+2x+1)/(x+2).
Bài 2. Tìm giá trị cực tiểu của mỗi hàm số sau:
a) y = x⁴ – 4x² + 1;
b) y = −(1/3)x³ +2x² + 5x – 2;
c) y = sin x + cos x (x thuộc [0, 2π]).
Bài 3. Tìm điểm cực trị và giá trị cực tiểu của mỗi hàm số sau:
a) y = x.e^(2x);
b) y = x³.ln x.
Bài 4. Một vật chuyển động có quãng đường đi được sau t giây là s(t) = t³ – 5t² + 7t + 1 (mét). Tìm thời điểm vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây. (Bài toán liên hệ tìm giá trị cực tiểu của hàm số vận tốc).
