Vecto pháp tuyến (VTPT) là một khái niệm quan trọng trong hình học giải tích, đặc biệt khi học về phương trình đường thẳng. Hiểu rõ về Công Thức Vecto Pháp Tuyến và cách áp dụng sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách nhanh chóng và chính xác. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức đầy đủ và chi tiết về VTPT, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng đa dạng.
A. Định Nghĩa Vecto Pháp Tuyến
Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát: ax + by + c = 0. Khi đó, vecto n = (a; b) được gọi là vecto pháp tuyến của đường thẳng d.
Vecto pháp tuyến là vecto có giá vuông góc với đường thẳng đó. Một đường thẳng có vô số vecto pháp tuyến, tất cả chúng đều cùng phương.
B. Các Dạng Toán Thường Gặp và Cách Giải
1. Tìm Vecto Pháp Tuyến Khi Biết Phương Trình Đường Thẳng
Đây là dạng toán cơ bản nhất. Bạn chỉ cần xác định hệ số a và b trong phương trình tổng quát của đường thẳng.
Ví dụ 1: Tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng 2x – 3y + 7 = 0.
Lời giải:
Áp dụng công thức, ta có vecto pháp tuyến của đường thẳng là n = (2; -3).
Chọn A. n4→ = (2; -3) (theo bài gốc)
2. Tìm Vecto Pháp Tuyến Của Đường Thẳng Song Song Hoặc Vuông Góc Với Trục Tọa Độ
- Đường thẳng song song với trục Ox có phương trình y = m (m ≠ 0). Khi đó, vecto pháp tuyến là n = (0; 1) hoặc n = (0; k) với k khác 0.
- Đường thẳng song song với trục Oy có phương trình x = m (m ≠ 0). Khi đó, vecto pháp tuyến là n = (1; 0) hoặc n = (k; 0) với k khác 0.
Ví dụ 2: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Ox?
A. n→( 1; 1) B. n→( 0; -1) C. n→(1; 0) D. n→( -1; 1)
Lời giải:
Đường thẳng song song với Ox có dạng y + m = 0 (với m ≠ 0). Đường thẳng này nhận vecto n = (0; 1) làm VTPT. Suy ra vecto n’ = (0; -1) cũng là VTPT của đường thẳng.
Chọn B.
3. Kiểm Tra Một Vecto Có Phải Là Vecto Pháp Tuyến Hay Không
Một vecto u là vecto pháp tuyến của đường thẳng d nếu u cùng phương với vecto pháp tuyến n của d. Tức là tồn tại số k sao cho u = kn.
Ví dụ 3: Cho đường thẳng ∆: x – 3y – 2 = 0. Vectơ nào sau đây không phải là vectơ pháp tuyến của ∆?
A. n1→ = (1; -3) . B. n2→ = (-2; 6) . C. n3→ = ( ; -1). D. n4→ = (3; 1).
Alt: Đường thẳng delta có vecto pháp tuyến (1;-3) và vecto chỉ phương (3,1)
Lời giải:
Đường thẳng ∆ có vecto pháp tuyến là n = (1; -3). Kiểm tra từng đáp án:
- Đáp án A: (1; -3) = 1 * (1; -3) (cùng phương)
- Đáp án B: (-2; 6) = -2 * (1; -3) (cùng phương)
- Đáp án C: Khó xác định, cần tính toán thêm.
- Đáp án D: (3; 1) không cùng phương với (1; -3).
Chọn D
4. Tìm Vecto Pháp Tuyến Của Đường Phân Giác
Cần nắm vững phương trình của đường phân giác. Ví dụ, đường phân giác góc phần tư thứ hai có phương trình x + y = 0.
Ví dụ 5: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường phân giác góc phần tư thứ hai?
A. n→( 1; 1) B. n→(0; 1) C. n→(1;0) D. n→( 1; -1)
Lời giải:
Đường phân giác của góc phần tư thứ hai có phương trình là x + y = 0. Đường thẳng này có VTPT là n = (1; 1).
Chọn A.
C. Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Cho đường thẳng d: 2x + 3y – 8 = 0. Trong các vecto sau, vecto nào không là VTPT của đường thẳng d?
A. n1→( 4; 6) B. n2→(-2;-3) C. n3→( 4; -6) D. n4→(-6;-9)
Lời giải:
Đường thẳng d nhận vecto n = (2; 3) làm VTPT. Kiểm tra các đáp án:
- A: (4; 6) = 2 * (2; 3) (cùng phương)
- B: (-2; -3) = -1 * (2; 3) (cùng phương)
- C: (4; -6) không cùng phương với (2; 3)
- D: (-6; -9) = -3 * (2; 3) (cùng phương)
Đáp án: C
Câu 2: Cho đường thẳng d: = 1. Tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng d?
Alt: Phương trình đường thẳng có dạng x/2 + y/3 = 1
A. n→( 2;3) B. n→( 3;2) C. n→( 2; -3) D. n→( -2;3)
Lời giải:
Đưa phương trình về dạng tổng quát:
(d): = 1 ⇔ (d): 3x + 2y – 6 = 0
Vậy vecto pháp tuyến là n = (3; 2).
Đáp án: B
D. Lưu Ý Quan Trọng
- Một đường thẳng có vô số vecto pháp tuyến, chúng luôn cùng phương.
- Khi giải bài tập, nên đưa phương trình đường thẳng về dạng tổng quát để dễ dàng xác định vecto pháp tuyến.
- Nắm vững mối quan hệ giữa vecto pháp tuyến và vecto chỉ phương (chúng vuông góc với nhau).
E. Kết Luận
Hiểu rõ về công thức vecto pháp tuyến là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán hình học giải tích. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng một cách linh hoạt. Chúc bạn học tốt!
