Bài Tập Xét Dấu Tam Thức Bậc 2: Phương Pháp Giải và Bài Tập Áp Dụng

1. Lý Thuyết Tổng Quan về Tam Thức Bậc Hai

Tam thức bậc hai (với biến x) là biểu thức có dạng: f(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực đã cho và a ≠ 0. Các số a, b, c được gọi là hệ số của tam thức bậc hai. Việc xét dấu tam thức bậc hai đóng vai trò quan trọng trong giải toán, đặc biệt là giải bất phương trình.

Định lý về dấu của tam thức bậc hai:

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (với a ≠ 0) và biệt thức Δ = b² - 4ac.

• Trường hợp 1: Δ < 0: Khi đó, f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ R.

• Trường hợp 2: Δ = 0: Khi đó, f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ≠ -b/2a. Tại x = -b/2a, f(x) = 0.

• Trường hợp 3: Δ > 0: Khi đó, f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ (giả sử x₁ < x₂). Khi đó:

  • f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ (-∞; x₁) ∪ (x₂; +∞).
  • f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x ∈ (x₁; x₂).

Hình ảnh minh họa đồ thị của tam thức bậc hai khi delta âm, cho thấy f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, không cắt trục hoành.

Lưu ý:

• Nếu b là số chẵn, ta có thể sử dụng Δ' = (b/2)² - ac để tính toán cho đơn giản.
• “Trong trái, ngoài cùng”: Khoảng giữa hai nghiệm thì f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng đó thì f(x) cùng dấu với a.

2. Phương Pháp Xét Dấu Biểu Thức Chứa Tam Thức Bậc Hai

2.1. Xét dấu trực tiếp tam thức bậc hai:

• Bước 1: Tính biệt thức Δ (hoặc Δ') và xác định dấu của Δ.
• Bước 2: Tìm nghiệm của f(x) = 0 (nếu có).
• Bước 3: Xác định dấu của hệ số a.
• Bước 4: Kết luận về dấu của f(x) dựa trên định lý về dấu của tam thức bậc hai.

2.2. Xét dấu biểu thức là tích, thương của nhiều tam thức và nhị thức:

• Bước 1: Tìm nghiệm của từng tam thức, nhị thức trong biểu thức. Tìm các giá trị làm cho biểu thức không xác định (mẫu bằng 0).
• Bước 2: Lập bảng xét dấu, điền các nghiệm và giá trị không xác định theo thứ tự tăng dần.
• Bước 3: Xét dấu từng thành phần của biểu thức trên từng khoảng, sau đó suy ra dấu của cả biểu thức.
• Bước 4: Kết luận.

3. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = x² - 5x + 6
b) g(x) = -2x² + 4x - 2
c) h(x) = x² + x + 1

Giải:

a) f(x) = x² - 5x + 6: a = 1, b = -5, c = 6. Δ = (-5)² - 4 * 1 * 6 = 1 > 0. Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm x₁ = 2 và x₂ = 3.

• f(x) > 0 khi x ∈ (-∞; 2) ∪ (3; +∞)
• f(x) < 0 khi x ∈ (2; 3)
• f(x) = 0 khi x = 2 hoặc x = 3.

b) g(x) = -2x² + 4x - 2: a = -2, b = 4, c = -2. Δ = 4² - 4 * (-2) * (-2) = 0. Phương trình g(x) = 0 có nghiệm kép x = 1.

• g(x) < 0 với mọi x ≠ 1
• g(x) = 0 khi x = 1.

c) h(x) = x² + x + 1: a = 1, b = 1, c = 1. Δ = 1² - 4 * 1 * 1 = -3 < 0.

• h(x) > 0 với mọi x ∈ R.

Bảng xét dấu minh họa cho trường hợp tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt, thể hiện rõ quy tắc “trong trái, ngoài cùng”.

Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức: f(x) = (x - 1)(x² - 4x + 3) / (x + 2)

Giải:

• x - 1 = 0 <=> x = 1
• x² - 4x + 3 = 0 <=> x = 1 hoặc x = 3
• x + 2 = 0 <=> x = -2

Lập bảng xét dấu:

Bảng xét dấu phức tạp hơn với nhiều dòng biểu thị dấu của từng nhân tử, giúp xác định dấu của biểu thức tổng.

Kết luận:

• f(x) > 0 khi x ∈ (-2; 1) ∪ (3; +∞)
• f(x) < 0 khi x ∈ (-∞; -2) ∪ (1; 3)
• f(x) = 0 khi x = 1 hoặc x = 3
• f(x) không xác định khi x = -2.

4. Bài Tập Tự Luyện

Bài 1: Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = 2x² - 5x + 2
b) g(x) = -x² + 6x - 9
c) h(x) = 3x² + 2x + 1

Bài 2: Xét dấu các biểu thức sau:

a) f(x) = (x + 1)(x² - 1)
b) g(x) = (x² - 9) / (x - 2)
c) h(x) = (x² + 2x + 1) / (x² - 4)

Bài 3: Giải các bất phương trình sau:

a) x² - 3x + 2 > 0
b) -2x² + 5x + 3 ≤ 0
c) (x + 2) / (x - 1) ≥ 0

Bài 4: Tìm m để phương trình x² - 2mx + m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.

5. Ứng dụng của việc xét dấu tam thức bậc 2

Việc xét dấu tam thức bậc hai là một kỹ năng quan trọng trong giải toán, đặc biệt trong các bài toán liên quan đến:

• Giải bất phương trình: Việc xét dấu giúp xác định các khoảng giá trị của biến số thỏa mãn bất phương trình.
• Tìm tập xác định của hàm số: Trong các hàm số chứa căn bậc hai hoặc phân thức, việc xét dấu giúp xác định các giá trị của biến số làm cho biểu thức dưới căn không âm hoặc mẫu số khác 0.
• Xét tính đơn điệu của hàm số: Đạo hàm bậc nhất của hàm số bậc hai là một tam thức bậc nhất, việc xét dấu đạo hàm giúp xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
• Bài toán tham số: Các bài toán liên quan đến tìm giá trị của tham số để phương trình hoặc bất phương trình thỏa mãn một điều kiện nào đó thường đòi hỏi kỹ năng xét dấu tam thức bậc hai.

Hy vọng bài viết này cung cấp đầy đủ kiến thức và bài tập để bạn nắm vững phương pháp xét dấu tam thức bậc hai và ứng dụng nó hiệu quả trong giải toán. Chúc các bạn học tốt!