Trong hình học giải tích, việc tính Khoảng Cách Giữa điểm Và đường Thẳng là một kỹ năng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn công thức tính khoảng cách, các ví dụ minh họa chi tiết, bài tập vận dụng và tự luyện để bạn nắm vững kiến thức này.
1. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát: ax + by + c = 0 và điểm M(x₀; y₀). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, ký hiệu là d(M, d), được tính theo công thức:
d(M, d) =
Alt: Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
Lưu ý:
- Đảm bảo phương trình đường thẳng d đã được viết ở dạng tổng quát.
- Giá trị tuyệt đối đảm bảo khoảng cách luôn là một số dương.
2. Các bước tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
- Xác định tọa độ điểm và phương trình đường thẳng: Xác định rõ tọa độ điểm M(x₀; y₀) và phương trình đường thẳng d: ax + by + c = 0.
- Thay số vào công thức: Thay các giá trị x₀, y₀, a, b, c vào công thức tính khoảng cách.
- Tính toán: Thực hiện các phép tính để tìm ra kết quả cuối cùng.
- Kết luận: Nêu rõ khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d.
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ điểm M(1; -1) đến đường thẳng (d): 3x – 4y – 21 = 0.
Giải:
Áp dụng công thức:
d(M, d) =
d(M, d) = |3(1) – 4(-1) – 21| / √(3² + (-4)²) = |-14| / √25 = 14 / 5 = 2.8
Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là 2.8.
Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng d: 4x + 3y – 24 = 0.
Giải:
Áp dụng công thức:
d(O, d) = |4(0) + 3(0) – 24| / √(4² + 3²) = |-24| / √25 = 24 / 5 = 4.8
Vậy khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d là 4.8.
Ví dụ 3: Cho đường thẳng d: = 1. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O(0;0) đến đường thẳng d.
Alt: Biểu thức đường thẳng d: y bằng -4/3 nhân x cộng 8.
Giải:
Đưa phương trình đường thẳng d về dạng tổng quát: 8x + 6y – 48 = 0
d(O, d) =
d(O, d) = |8(0) + 6(0) – 48| / √(8² + 6²) = |-48| / √100 = 48 / 10 = 4.8
Vậy khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d là 4.8.
4. Ứng dụng của việc tính khoảng cách giữa điểm và đường thẳng
-
Tìm bán kính đường tròn tiếp xúc với đường thẳng: Nếu một đường tròn có tâm M và tiếp xúc với đường thẳng d, thì khoảng cách từ M đến d chính là bán kính của đường tròn.
Alt: Hình ảnh đường tròn tâm O tiếp xúc với đường thẳng d, khoảng cách từ O đến d bằng bán kính R.
-
Tính chiều cao của tam giác: Trong một tam giác, khoảng cách từ một đỉnh đến cạnh đối diện chính là chiều cao của tam giác đó.
-
Tính diện tích hình bình hành, hình chữ nhật: Nếu biết phương trình các cạnh và tọa độ một đỉnh, ta có thể tính diện tích bằng cách sử dụng công thức khoảng cách.
-
Các bài toán liên quan đến vị trí tương đối của điểm và đường thẳng: Xác định điểm nằm trên, nằm dưới hay nằm cách đường thẳng một khoảng nhất định.
5. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm A(3; -4) đến đường thẳng d: 3x – 4y + 5 = 0.
Bài 2: Tính khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng d1: x – 3y + 4 = 0 và d2: 2x + 3y – 1 = 0 đến đường thẳng d: 3x + y + 16 = 0.
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(1; 2), B(0; 3), C(4; 0). Tính chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A.
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(3; -4), B(1; 5), C(3; 1). Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 5: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng d1: 4x – 3y + 5 = 0 và d2: 3x + 4y – 5 = 0, đỉnh A(2; 1). Tính diện tích của hình chữ nhật.
6. Bài tập tự luyện
(Các bài tập tự luyện được giữ nguyên từ bài gốc)
Lời khuyên:
- Làm nhiều bài tập với các dạng khác nhau để làm quen với công thức và cách áp dụng.
- Vẽ hình minh họa để dễ hình dung và giải quyết bài toán.
- Kiểm tra lại kết quả sau khi tính toán để đảm bảo tính chính xác.
Hy vọng bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức về khoảng cách giữa điểm và đường thẳng và áp dụng thành công vào giải các bài tập hình học giải tích. Chúc bạn học tốt!
