Để giải bài toán đếm số lượng số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9, chúng ta cần kết hợp kiến thức về chỉnh hợp, hoán vị và dấu hiệu chia hết cho 9. Bài viết này sẽ trình bày phương pháp giải chi tiết cùng các ví dụ minh họa.
A. Kiến thức cần nhớ
1. Chỉnh hợp:
Cho tập hợp X gồm n phần tử (n ≥ 1) và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Khi lấy ra k phần tử của X và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
Số các chỉnh hợp chập k của tập hợp có n phần tử được kí hiệu là , tính bởi công thức:
2. Dấu hiệu chia hết cho 9:
Một số chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.
3. Các bước giải bài toán đếm số chia hết cho 9:
- Bước 1: Xác định tập các chữ số có thể sử dụng. Thông thường là {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
- Bước 2: Tìm các bộ 5 chữ số phân biệt có tổng chia hết cho 9.
- Bước 3: Với mỗi bộ 5 chữ số tìm được, tính số các số có 5 chữ số khác nhau tạo thành từ bộ đó. Lưu ý loại trừ trường hợp chữ số 0 đứng đầu.
- Bước 4: Cộng tất cả các trường hợp lại để được kết quả cuối cùng.
B. Ví dụ minh họa
Để làm rõ hơn, chúng ta sẽ xem xét một ví dụ cụ thể:
Ví dụ: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9?
Giải:
Bước 1: Tập các chữ số có thể sử dụng là {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Bước 2: Tìm các bộ 5 chữ số phân biệt có tổng chia hết cho 9:
Các bộ số này có thể là:
- {0, 1, 2, 3, 4}: Tổng là 10 (Không chia hết cho 9)
- {0, 1, 2, 6, 9}: Tổng là 18 (Chia hết cho 9)
- {0, 1, 3, 5, 9}: Tổng là 18 (Chia hết cho 9)
- {0, 1, 3, 6, 8}: Tổng là 18 (Chia hết cho 9)
- {0, 1, 4, 5, 8}: Tổng là 18 (Chia hết cho 9)
- {0, 1, 4, 6, 7}: Tổng là 18 (Chia hết cho 9)
- {0, 2, 3, 4, 9}: Tổng là 18 (Chia hết cho 9)
- {0, 2, 3, 5, 8}: Tổng là 18 (Chia hết cho 9)
- {0, 2, 3, 6, 7}: Tổng là 18 (Chia hết cho 9)
- {0, 2, 4, 5, 7}: Tổng là 18 (Chia hết cho 9)
- {0, 3, 4, 5, 6}: Tổng là 18 (Chia hết cho 9)
- {1, 2, 3, 4, 8}: Tổng là 18 (Chia hết cho 9)
- {1, 2, 3, 5, 7}: Tổng là 18 (Chia hết cho 9)
- {1, 2, 4, 5, 6}: Tổng là 18 (Chia hết cho 9)
- {1, 3, 4, 5, 5}: Tổng là 18 (Không thỏa mãn đề bài vì có 2 số 5)
- {2, 3, 4, 5, 4}: Tổng là 18 (Không thỏa mãn đề bài vì có 2 số 4)
- {0, 4, 5, 9, 0}: Tổng là 18 (Không thỏa mãn đề bài vì có 2 số 0)
- {4, 5, 6, 7, 8}: Tổng là 30 (Không chia hết cho 9)
- {1, 5, 6, 7, 9}: Tổng là 28 (Không chia hết cho 9)
- {1, 2, 7, 8, 0}: Tổng là 18 (Chia hết cho 9)
- … và nhiều bộ số khác.
Bước 3: Với mỗi bộ 5 chữ số, tính số các số có 5 chữ số khác nhau tạo thành.
Ví dụ, với bộ {0, 1, 2, 6, 9}:
- Số các số có 5 chữ số khác nhau tạo thành là 5! = 120.
- Tuy nhiên, cần loại trừ các số có chữ số 0 đứng đầu. Số các số có chữ số 0 đứng đầu là 4! = 24.
- Vậy số các số thỏa mãn với bộ {0, 1, 2, 6, 9} là 120 – 24 = 96.
Bước 4: Thực hiện tương tự với các bộ số khác và cộng kết quả lại.
Lưu ý: Công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Sau khi tính toán cho tất cả các bộ số, ta sẽ có kết quả cuối cùng. (Việc liệt kê và tính toán đầy đủ các bộ số còn lại xin được dành cho bạn đọc).
C. Bài tập tự luyện
- Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9?
- Từ các chữ số 0, 2, 4, 6, 8, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9?
Lời khuyên:
- Hãy cẩn thận trong việc liệt kê các bộ số có tổng chia hết cho 9.
- Đừng quên loại trừ các trường hợp chữ số 0 đứng đầu.
- Sử dụng máy tính hoặc công cụ hỗ trợ để tính toán các hoán vị và chỉnh hợp.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một phương pháp giải chi tiết cho bài toán đếm số tự nhiên có các chữ số khác nhau và chia hết cho 9. Chúc bạn thành công!
