Giải toán bằng cách lập hệ phương trình là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Nắm vững phương pháp và luyện tập thường xuyên sẽ giúp học sinh tự tin giải quyết các bài toán đa dạng. Bài viết này cung cấp phương pháp giải chi tiết và các bài tập tự luận, tự luyện để học sinh ôn tập và nâng cao trình độ.
A. Phương Pháp Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình
Để giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình, chúng ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Lập hệ phương trình.
- Chọn hai đại lượng chưa biết và đặt chúng là ẩn số x và y. Xác định đơn vị đo và điều kiện của ẩn.
- Biểu diễn các đại lượng khác trong bài toán qua các ẩn x và y.
- Tìm hai mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán, từ đó lập hai phương trình. Hai phương trình này tạo thành hệ phương trình hai ẩn.
Bước 2: Giải hệ phương trình.
Sử dụng các phương pháp đã học (ví dụ: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số) để giải hệ phương trình tìm ra giá trị của x và y.
Bước 3: Kiểm tra và kết luận.
Kiểm tra xem các giá trị x, y tìm được có thỏa mãn điều kiện của bài toán hay không. Đưa ra kết luận về các đại lượng cần tìm.
B. Bài Tập Tự Luận Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình
Bài 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34m. Nếu tăng chiều dài thêm 3m và tăng chiều rộng thêm 2m thì diện tích tăng thêm 45m². Hãy tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn.
Hướng dẫn giải:
Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn lần lượt là x và y (m, x > 0, y > 0).
- Chu vi hình chữ nhật là: 2(x + y) = 34 (1)
- Diện tích hình chữ nhật mới là: (x + 2)(y + 3)
Theo đề bài, diện tích tăng thêm 45m² nên ta có phương trình: (x + 2)(y + 3) = xy + 45 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Alt text: Hệ phương trình gồm hai phương trình: 2(x+y)=34 và (x+2)(y+3)=xy+45, dùng để giải bài toán tìm chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật
Bài 2: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 72 và tổng của số mới và số đã cho là 110.
Hướng dẫn giải:
Gọi chữ số hàng chục là x và chữ số hàng đơn vị là y (x, y là các số tự nhiên từ 0 đến 9, x ≠ 0). Số ban đầu là 10x + y.
Khi đổi chỗ hai chữ số ta được số mới là 10y + x.
Theo đề bài ta có:
- (10y + x) – (10x + y) = 72 (1)
- (10x + y) + (10y + x) = 110 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Alt text: Hệ phương trình gồm hai phương trình: -9x + 9y = 72 và 11x + 11y = 110, biểu diễn mối quan hệ giữa hai chữ số của một số có hai chữ số
Alt text: Các bước giải hệ phương trình: x+y=10 và -x+y=8 để tìm ra giá trị x=1 và y=9, từ đó xác định số cần tìm là 19
Vậy số cần tìm là 19.
Bài 3: Hai thị xã A và B cách nhau 90km. Một chiếc ô tô khởi hành từ A và một xe máy khởi hành từ B cùng một lúc, đi ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau, ô tô chạy thêm 30 phút nữa thì đến B, còn xe máy chạy thêm 2 giờ nữa mới đến A. Tìm vận tốc của mỗi xe.
Hướng dẫn giải:
Gọi vận tốc của ô tô và xe máy lần lượt là x và y (km/h, x > 0, y > 0).
Giả sử hai xe gặp nhau tại C.
- Ô tô đi hết quãng đường BC trong 30 phút (= 0,5h) và xe máy đi hết quãng đường CA trong 2 giờ nên ta có: Quãng đường AC dài 2y (km), quãng đường BC dài 0,5x (km).
- Thời gian ô tô đi hết quãng đường AC là 2y/x (giờ).
- Thời gian xe máy đi trên quãng đường BC là 0,5x/y (giờ).
Do tổng quãng đường AB dài 90km và thời gian hai xe từ lúc xuất phát tới C bằng nhau nên ta có hệ phương trình:
Alt text: Hệ phương trình gồm hai phương trình: 2y + 0.5x = 90 và 2y/x = 0.5x/y, mô tả mối quan hệ giữa vận tốc, quãng đường và thời gian của ô tô và xe máy
Từ (2) suy ra x = 2y (do x > 0, y > 0), thay vào (1) ta có phương trình:
3y = 90 ⇔ y = 30 => x = 60 (thỏa mãn x, y > 0).
Vậy vận tốc của ô tô là 60km/h và vận tốc của xe máy là 30km/h.
Bài 4: Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h thì đến B sớm hơn dự định 2 giờ. Nếu giảm vận tốc đi 4km/h thì đến B muộn hơn 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của người đó.
Hướng dẫn giải:
Gọi vận tốc dự định là x (km/h) (x > 0) và thời gian dự định là y (giờ) (y > 0).
Quãng đường AB là xy (km).
- Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h thì đến B sớm hơn dự định 2 giờ nên ta có phương trình: (x + 14)(y – 2) = xy (1)
- Nếu vận tốc giảm đi 4km/h thì đến B muộn hơn 1 giờ nên ta có phương trình: (x – 4)(y + 1) = xy (2)
Alt text: Hệ phương trình gồm hai phương trình: -2x + 14y = 28 và x – 4y = 4, được thiết lập từ các điều kiện về vận tốc và thời gian thay đổi của xe máy
C. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Hai năm trước đây, tuổi của anh gấp đôi tuổi của em, còn 8 năm trước đây, tuổi của anh gấp 5 lần tuổi em. Hỏi hiện nay anh và em bao nhiêu tuổi?
Bài 2. Có hai loại quặng chứa 75% sắt và 50% sắt. Tính khối lượng của mỗi loại quặng đem trộn để được 25 tấn quặng chứa 66% sắt.
Bài 3. Một hình chữ nhật có chu vi 90m. Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và giảm chiều dài đi 15m thì ta được hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu. Tính các cạnh của hình chữ nhật đã cho.
Bài 4. Một người dự định đi xe máy từ A đến B cách nhau 96 km trong thời gian nhất định. Sau khi đi được một nửa quãng đường, người đó dừng lại 18 phút. Do đó, để đến B đúng hẹn, người đó đã tăng vận tốc thêm 2km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu và thời gian xe lăn bánh trên đường.
Bài 5. Bạn Tuấn vào cửa hàng bách hóa mua một đôi giày và một bộ quần áo thể thao, giá tiền tổng cộng là 148,000 đồng. Một tuần sau trở lại, giá mỗi đôi giày giảm 20%, giá mỗi bộ quần áo thể thao giảm 40%. Bạn Tuấn đưa cho cô bán hàng 111,000 đồng, cô bán hàng trả lại bạn Tuấn 8,900 đồng. Hỏi giá tiền một đôi giày, giá tiền một bộ quần áo thể thao khi chưa giảm giá là bao nhiêu?
Chúc các bạn học tốt và chinh phục thành công các bài toán bằng cách lập hệ phương trình!
