Hình Chóp Có đáy Là Hình Thang Vuông là một dạng bài tập hình học không gian thường gặp trong chương trình phổ thông và các kỳ thi. Bài viết này sẽ đi sâu vào dạng toán này, cung cấp các kiến thức cần thiết và phương pháp giải quyết các bài toán liên quan.
Xét hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD = DC = a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a.
a) Chứng minh mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (SDC), mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SCB).
Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta cần chứng minh một đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.
-
Chứng minh (SAD) ⊥ (SDC):
Vì ABCD là hình thang vuông tại A và D nên AD ⊥ DC. Mà SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ DC. Do đó, DC ⊥ (SAD). Vì DC ⊂ (SDC) nên (SAD) ⊥ (SDC).
Alt text: Chứng minh vuông góc giữa mặt phẳng (SAD) và (SDC) trong bài toán hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông, SA vuông góc với đáy.
-
Chứng minh (SAC) ⊥ (SCB):
Gọi I là trung điểm của AB. Ta có AICD là hình vuông và IBCD là hình bình hành. Suy ra DI // CB và DI ⊥ CA nên AC ⊥ CB. Do đó CB ⊥ (SAC). Vì CB ⊂ (SCB) nên (SBC) ⊥ (SAC).
b) Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD), tính tanφ.
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó và nằm trong hai mặt phẳng đó.
- Xác định giao tuyến của (SBC) và (ABCD): Giao tuyến là BC.
- Dựng đường cao từ A xuống BC: Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Khi đó AH ⊥ BC.
- Dựng đường cao từ S xuống BC: Gọi K là hình chiếu của S trên BC. Khi đó SK ⊥ BC.
- Góc giữa (SBC) và (ABCD) là góc SHA hoặc góc SKA.
- Tính tanφ: Trong tam giác vuông SHA (hoặc SKA), tanφ = SA/AH (hoặc tanφ = SA/AK).
Alt text: Hình vẽ minh họa tính góc giữa mặt (SBC) và mặt (ABCD) trong bài toán hình chóp có đáy là hình thang vuông, sử dụng hình chiếu vuông góc và xác định góc SHA.
c) Gọi (α) là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC). Hãy xác định (α) và xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với (α).
-
Xác định (α):
Để (α) ⊥ (SAC), ta cần tìm một đường thẳng trong (SAC) vuông góc với (α). Gọi I là trung điểm AB. Ta chứng minh được (SDI) ⊥ (SAC). Vậy (α) là mặt phẳng (SDI).
-
Xác định thiết diện:
Thiết diện của hình chóp S.ABCD với (α) là tam giác SDI.
Alt text: Hình vẽ thiết diện SDI của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (α) chứa SD và vuông góc (SAC), I là trung điểm AB.
Các dạng bài tập thường gặp khác về hình chóp đáy hình thang vuông:
- Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Tính thể tích của hình chóp.
- Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
- Các bài toán liên quan đến góc và khoảng cách khác.
Lưu ý khi giải bài tập:
- Vẽ hình chính xác và đầy đủ các yếu tố.
- Xác định rõ các yếu tố vuông góc.
- Sử dụng các định lý và tính chất liên quan đến hình học không gian một cách linh hoạt.
- Kiểm tra lại kết quả sau khi giải.
Bằng việc nắm vững kiến thức cơ bản và luyện tập thường xuyên, bạn sẽ có thể giải quyết các bài toán về hình chóp có đáy là hình thang vuông một cách dễ dàng và hiệu quả.
