P(A/B), hay còn gọi là xác suất có điều kiện, biểu thị xác suất xảy ra sự kiện A khi biết sự kiện B đã xảy ra. Nó được đọc là “xác suất của A khi biết B”. Công thức P(A/B) được định nghĩa là P(A/B) = P(A∩B) / P(B).
Công thức này là một công cụ quan trọng trong lý thuyết xác suất và thống kê, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các sự kiện và dự đoán khả năng xảy ra của một sự kiện dựa trên thông tin đã biết.
Định Nghĩa và Ý Nghĩa của Công Thức P(A/B)
Xác suất có điều kiện P(A/B) chỉ xuất hiện khi các sự kiện A và B là các sự kiện phụ thuộc, nghĩa là sự xảy ra của sự kiện B ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của sự kiện A.
Công Thức P(A/B)
Công thức xác suất của A khi biết B được biểu diễn như sau:
P(A/B) = P(A∩B) / P(B)
Tương tự, công thức P(B/A) là: P(B/A) = P(A∩B) / P(A)
Trong đó:
- P(A): Xác suất xảy ra sự kiện A.
- P(B): Xác suất xảy ra sự kiện B.
- P(A∩B): Xác suất xảy ra đồng thời cả hai sự kiện A và B.
Từ hai công thức trên, chúng ta có thể suy ra công thức tích của xác suất:
- P(A∩B) = P(A/B) × P(B)
- P(A∩B) = P(B/A) × P(A)
Công thức P(A/B) là xác suất có điều kiện của A khi biết B
Alt: Biểu đồ minh họa công thức P(A|B) = P(A giao B) / P(B) trong xác suất có điều kiện, với A và B là hai sự kiện bất kỳ.
Lưu ý: Nếu A và B là các sự kiện độc lập, thì P(A/B) = P(A) hoặc P(B/A) = P(B). Trong trường hợp này, hai công thức trên trở thành P(A∩B) = P(A) × P(B). Đây được gọi là điều kiện để hai sự kiện là độc lập.
Ví Dụ Minh Họa Công Thức P(A/B)
Ví dụ 1: Khi tung một con xúc xắc công bằng, xác suất để xuất hiện một số lẻ là bao nhiêu, biết rằng số đó nhỏ hơn hoặc bằng 3?
Giải:
Cần tìm: P(A/B) với A là sự kiện xuất hiện số lẻ và B là sự kiện xuất hiện số nhỏ hơn hoặc bằng 3.
Khi tung một con xúc xắc, không gian mẫu = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A là sự kiện xuất hiện số lẻ. Vậy A = {1, 3, 5}.
B là sự kiện xuất hiện số nhỏ hơn hoặc bằng 3. Vậy B = {1, 2, 3}.
Khi đó A∩B = {1, 3}.
Sử dụng công thức P(A/B):
P(A/B) = P(A∩B) / P(B)
P(A/B) = (2/6) / (3/6) = 2/3
Đáp án: ∴ P(A/B) = 2/3.
Ví dụ 2: Rút ngẫu nhiên hai lá bài từ bộ bài 52 lá, lá bài đầu tiên KHÔNG được trả lại trước khi rút lá bài thứ hai. Xác suất để cả hai lá bài đều là quân K (King) là bao nhiêu?
Giải:
Cần tìm: Xác suất để cả hai lá bài đều là quân K.
P(lá bài 1 là quân K) = 4/52 (vì có 4 quân K trong 52 lá bài).
P(lá bài 2 là quân K / lá bài 1 là quân K) = 3/51 (vì lá bài đầu tiên không được trả lại, nên chỉ còn 3 quân K trong 51 lá bài còn lại).
Theo công thức xác suất có điều kiện,
P(lá bài 1 là quân K ∩ lá bài 2 là quân K) = P(lá bài 2 là quân K / lá bài 1 là quân K) × P(lá bài 1 là quân K)
P(lá bài 1 là quân K ∩ lá bài 2 là quân K) = 3/51 × 4/52 = 1/221
Đáp án: Xác suất cần tìm = 1/221.
Ví dụ 3: Xác suất để một người được chọn là người hút thuốc là bao nhiêu, biết rằng người đó là nam giới?
| Nam | Nữ | Tổng | |
|---|---|---|---|
| Hút thuốc | 45 | 25 | 70 |
| Không hút thuốc | 75 | 55 | 130 |
| Tổng | 120 | 80 | 200 |
Giải:
Chúng ta cần tìm P(người hút thuốc | nam giới)
Sử dụng công thức xác suất của A khi biết B, P(A | B) = P(A∩B) / P(B).
Áp dụng vào bài toán, ta có:
P(người hút thuốc | nam giới) = P(người hút thuốc ∩ nam giới) / P(nam giới) = (45/200) / (120/200) = 45/120 = 9/24
Đáp án: ∴ Xác suất cần tìm = 9/24.
Câu Hỏi Thường Gặp Về Công Thức P(A/B)
Công thức xác suất của A khi biết B là gì?
Công thức xác suất của A khi biết B được sử dụng để tính xác suất có điều kiện, trong đó chúng ta cần tìm xác suất xảy ra sự kiện ‘A’ sau khi sự kiện ‘B’ đã xảy ra. Công thức P(A/B) được cho bởi P(A/B) = P(A∩B) / P(B), trong đó P(A) là xác suất của sự kiện A, P(B) là xác suất của sự kiện B, và P(A∩B) là xác suất xảy ra đồng thời cả A và B.
Làm thế nào để tìm P(A∩B) bằng công thức P(A/B)?
P(A∩B) có thể được tính bằng công thức P(A/B) như sau: P(A∩B) = P(A/B) × P(B), trong đó P(B) là xác suất xảy ra sự kiện B và P(A∩B) là xác suất xảy ra đồng thời cả A và B.
Nếu A và B là các sự kiện độc lập thì điều kiện là gì?
Nếu A và B là các sự kiện độc lập thì không có khái niệm xác suất có điều kiện. Tức là, P(A/B) chỉ đơn giản là P(A) và P(B/A) chỉ đơn giản là P(B). Do đó, xác suất của A và B trong trường hợp này chỉ là tích của các xác suất riêng lẻ. Tức là, P(A và B) = P(A) · P(B).
Ký hiệu ∩ trong công thức P(A∩B) có nghĩa là gì?
Trong công thức xác suất của A khi biết B, P(A/B) = P(A∩B) / P(B), ký hiệu ∩ đại diện cho giao của sự kiện ‘A’ và sự kiện ‘B’. Do đó, P(A∩B) đại diện cho xác suất xảy ra đồng thời cả A và B.
Công thức P(A∩B) là gì?
P(A∩B) là xác suất xảy ra đồng thời cả hai sự kiện độc lập “A” và “B”.
