Công Thức Tính Khối Lăng Trụ: Đầy Đủ, Dễ Hiểu, Bài Tập Áp Dụng

Khối lăng trụ là một hình học quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông và thường xuyên xuất hiện trong các bài thi. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức về khối lăng trụ, từ định nghĩa, các loại lăng trụ đến công thức tính thể tích chi tiết, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng.

1. Tổng Quan Về Khối Lăng Trụ

a. Định nghĩa

Khối lăng trụ là một khối đa diện được giới hạn bởi hai mặt đáy là hai đa giác phẳng, bằng nhau và song song với nhau, cùng với các mặt bên là các hình bình hành.

b. Tính chất của khối lăng trụ

• Các cạnh bên song song và bằng nhau.
• Các mặt bên là hình bình hành.
• Hai mặt đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song.

c. Các loại lăng trụ đặc biệt

• Lăng trụ xiên: Là lăng trụ có các cạnh bên không vuông góc với mặt đáy.

• Lăng trụ đứng: Là lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Trong lăng trụ đứng, các mặt bên là hình chữ nhật và chiều cao của lăng trụ bằng độ dài cạnh bên.

• Lăng trụ đều: Là lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều (ví dụ: tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều,…).

• Hình hộp: Là lăng trụ có đáy là hình bình hành.

  • Hình hộp đứng: Là hình hộp có các cạnh bên vuông góc với đáy.
  • Hình hộp chữ nhật: Là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
  • Hình lập phương: Là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.

2. Công Thức Tính Thể Tích Khối Lăng Trụ

Công thức tổng quát để tính thể tích của khối lăng trụ là:

V = S.h

Trong đó:

• V là thể tích của khối lăng trụ.
• S là diện tích mặt đáy của khối lăng trụ.
• h là chiều cao của khối lăng trụ (khoảng cách giữa hai mặt đáy).

a. Các trường hợp đặc biệt

• Hình hộp chữ nhật: Nếu khối lăng trụ là hình hộp chữ nhật với chiều dài a, chiều rộng b và chiều cao h, thì thể tích được tính như sau:

  V = a.b.h

• Hình lập phương: Nếu khối lăng trụ là hình lập phương với cạnh a, thì thể tích được tính như sau:

  V = a³

b. Lưu ý khi tính diện tích đáy (S)

Tùy thuộc vào hình dạng của mặt đáy, ta sẽ có các công thức tính diện tích khác nhau:

• Đáy là tam giác:
  • Tam giác thường: Sử dụng công thức Heron hoặc công thức 1/2 cạnh đáy chiều cao tương ứng.
  • Tam giác vuông: 1/2 * tích hai cạnh góc vuông.
  • Tam giác đều: (a²√3)/4 (với a là độ dài cạnh).
• Đáy là hình vuông: a² (với a là độ dài cạnh).
• Đáy là hình chữ nhật: a*b (với a và b là chiều dài và chiều rộng).
• Đáy là hình bình hành: cạnh đáy * chiều cao tương ứng.
• Đáy là hình thoi: 1/2 * tích hai đường chéo.
• Đáy là hình thang: 1/2 (tổng hai đáy) chiều cao.

3. Các Dạng Bài Tập Về Thể Tích Khối Lăng Trụ

a. Dạng 1: Tính thể tích lăng trụ đứng

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = a√2, BC’ = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

Lời giải:

• Vì tam giác ABC vuông cân tại B và AC = a√2 nên AB = BC = a.
• Do lăng trụ ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên CC’ vuông góc với BC. Tam giác BCC’ vuông tại C. Áp dụng định lý Pytago: CC’ = √(BC’^2 – BC^2) = √(4a^2 – a^2) = a√3.
• Diện tích tam giác ABC: S = (1/2) AB BC = (1/2) a a = a^2/2.
• Thể tích lăng trụ: V = S h = (a^2/2) (a√3) = (a^3√3)/2.

Ví dụ 2: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải:

• Đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Diện tích đáy: S = (a^2√3)/4.
• Chiều cao của lăng trụ chính là cạnh bên: h = a.
• Thể tích lăng trụ: V = S h = ((a^2√3)/4) a = (a^3√3)/4.

b. Dạng 2: Tính thể tích lăng trụ xiên

Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên AA’ = a√3 và hợp với mặt đáy (ABC) một góc 60°. Tính thể tích của lăng trụ.

Lời giải:

• Gọi H là hình chiếu vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC). Góc giữa AA’ và (ABC) là góc A’AH = 60°.
• Trong tam giác vuông A’AH: A’H = AA’ sin(60°) = a√3 (√3/2) = (3a)/2.
• Diện tích tam giác đều ABC: S = (a^2√3)/4.
• Thể tích lăng trụ: V = S h = ((a^2√3)/4) (3a/2) = (3a^3√3)/8.

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ xuống (ABC) là trung điểm H của AB. Mặt bên (ACC’A’) tạo với đáy góc 45°. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

Lời giải:

• Gọi K là chân đường vuông góc hạ từ H xuống AC. Góc giữa (ACC’A’) và (ABC) là góc A’KH = 45°.
• Tính HK: Trong tam giác AHC vuông tại H, HK = AH sin(60°) = (a/2) (√3/2) = (a√3)/4.
• Tính A’H: Trong tam giác A’HK vuông tại H, A’H = HK tan(45°) = (a√3)/4 1 = (a√3)/4.
• Diện tích tam giác ABC: S = (a^2√3)/4.
• Thể tích lăng trụ: V = S h = ((a^2√3)/4) ((a√3)/4) = (3a^3)/16.

4. Bài Tập Luyện Tập

1. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a√3. Góc giữa (A’BC) và (ABC) bằng 60°. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
2. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, góc BAD = 60°, AA’ = 2a. Tính thể tích lăng trụ ABCD.A’B’C’D’.
3. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Hình chiếu của A’ lên (ABC) là điểm H thuộc cạnh AC sao cho HC = 2HA. Mặt bên (ABB’A’) tạo với đáy góc 45°. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

Lời khuyên: Để nắm vững công thức và cách giải các bài toán về thể tích khối lăng trụ, hãy làm thật nhiều bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Chúc các bạn học tốt!