Hàm số y = sinx là một trong những hàm số lượng giác cơ bản và quan trọng nhất. Việc xác định tập giá trị của nó là kiến thức nền tảng giúp giải quyết nhiều bài toán liên quan. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về tập giá trị của hàm số y = sinx, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng.
1. Tập Giá Trị của Hàm Số y = sinx
Hàm số y = sinx có tập xác định là D = R (tất cả các số thực). Giá trị của sinx luôn nằm trong khoảng từ -1 đến 1, bao gồm cả hai giá trị này.
Kết luận: Tập giá trị của hàm số y = sinx là T = [-1; 1].
Điều này có nghĩa là, với mọi giá trị x thuộc tập số thực, giá trị của sinx luôn lớn hơn hoặc bằng -1 và nhỏ hơn hoặc bằng 1:
-1 ≤ sinx ≤ 1, ∀x ∈ R
Hình ảnh minh họa đồ thị hàm số sin(x), trục tung thể hiện giá trị sin(x) giới hạn trong đoạn [-1, 1], giúp hình dung trực quan về tập giá trị của hàm số.
2. Ứng Dụng của Tập Giá Trị Hàm Số y = sinx
Hiểu rõ tập giá trị của hàm số y = sinx giúp chúng ta giải quyết các bài toán sau:
- Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số lượng giác: Dựa vào tính chất bị chặn của sinx để tìm GTLN và GTNN của các hàm số phức tạp hơn.
- Giải phương trình lượng giác: Biết được sinx chỉ nhận giá trị trong khoảng [-1; 1] giúp ta loại bỏ các nghiệm không hợp lệ.
- Xét tính bị chặn của hàm số: Xác định xem một hàm số có bị chặn trên, bị chặn dưới hay bị chặn cả hai phía hay không.
3. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tìm tập giá trị của hàm số y = 3sinx + 2.
Lời giải:
Ta có: -1 ≤ sinx ≤ 1, ∀x ∈ R
Nhân cả ba vế với 3: -3 ≤ 3sinx ≤ 3, ∀x ∈ R
Cộng cả ba vế với 2: -1 ≤ 3sinx + 2 ≤ 5, ∀x ∈ R
Vậy, tập giá trị của hàm số y = 3sinx + 2 là T = [-1; 5].
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 5 – 2sinx.
Lời giải:
Ta có: -1 ≤ sinx ≤ 1, ∀x ∈ R
Nhân cả ba vế với -2: -2 ≤ -2sinx ≤ 2, ∀x ∈ R
Cộng cả ba vế với 5: 3 ≤ 5 – 2sinx ≤ 7, ∀x ∈ R
Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số là 3 và giá trị lớn nhất là 7.
Ví dụ 3: Tìm tập giá trị của hàm số y = sin2x.
Lời giải:
Ta có: -1 ≤ sinx ≤ 1, ∀x ∈ R
Bình phương cả ba vế: 0 ≤ sin2x ≤ 1, ∀x ∈ R
Vậy, tập giá trị của hàm số y = sin2x là T = [0; 1].
Hình ảnh minh họa công thức nghiệm tổng quát của phương trình sin(x) = m, trong đó m thuộc tập giá trị của sin(x), nhấn mạnh mối liên hệ giữa tập giá trị và giải phương trình lượng giác.
4. Bài Tập Vận Dụng
Bài 1: Tìm tập giá trị của hàm số y = -sinx + 4.
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sinx – 3.
Bài 3: Tìm tập giá trị của hàm số y = |sinx|.
Bài 4: Tìm tập giá trị của hàm số y = 1/(sinx + 2).
Bài 5: Cho hàm số y = m + sinx. Tìm m để tập giá trị của hàm số là đoạn [0; 2].
5. Mở Rộng và Chú Ý
- Khi hàm số có dạng y = asin(bx + c) + d, với a, b, c, d là các hằng số và a ≠ 0, tập giá trị của hàm số sẽ là [d – |a|; d + |a|].
- Việc xác định tập giá trị của hàm số y = sinx là cơ sở để tìm tập giá trị của các hàm số lượng giác khác như cosx, tanx, cotx và các hàm số lượng giác phức tạp hơn.
- Nắm vững các phép biến đổi lượng giác sẽ giúp đơn giản hóa hàm số, từ đó dễ dàng tìm được tập giá trị.
Hy vọng qua bài viết này, bạn đã hiểu rõ về tập giá trị của hàm số y = sinx và có thể áp dụng kiến thức này để giải quyết các bài toán liên quan. Chúc bạn học tốt!
