Giải hệ phương trình là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Việc nắm vững các phương pháp giải không chỉ giúp học sinh giải quyết tốt các bài tập trên lớp mà còn là nền tảng vững chắc cho các kiến thức toán học sau này. Bài viết này sẽ cung cấp một số bài tập điển hình về giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, kèm theo lời giải chi tiết, giúp học sinh ôn luyện và nắm vững kiến thức.
Câu 1: Tìm nghiệm của hệ phương trình sau bằng phương pháp thế và tính tích x.y:
Alt: Hệ phương trình với hai ẩn x và y: x + y = 5 và 2x – y = 1, yêu cầu tìm nghiệm bằng phương pháp thế.
Lời giải:
Alt: Chi tiết các bước biến đổi phương trình, rút x từ phương trình thứ nhất và thay vào phương trình thứ hai để tìm y, sau đó tìm x.
Vậy tích x.y = 2 * 3 = 6. Chọn đáp án B
Câu 2: Tìm nghiệm (x; y) của hệ phương trình sau và tính tổng x + y:
Alt: Đề bài toán hệ phương trình tuyến tính hai ẩn: 3x trừ y bằng 5 và x cộng 2y bằng 4, yêu cầu tìm tổng x+y.
Alt: Giải thích từng bước giải hệ phương trình, rút x từ phương trình thứ hai, thay vào phương trình thứ nhất và tìm ra giá trị của x và y.
Lời giải:
Alt: Các bước giải chi tiết để tìm ra nghiệm của hệ phương trình, kết luận x=2 và y=1, từ đó suy ra x+y=3.
Vậy tổng x + y = 2 + 1 = 3. Chọn đáp án D
Câu 3: Xác định số nghiệm của hệ phương trình sau:
Alt: Hệ phương trình tuyến tính: x cộng 2y bằng 3 và 2x cộng 4y bằng 6, yêu cầu xác định số lượng nghiệm.
Lời giải:
Alt: Giải thích chi tiết về việc nhận biết hai phương trình trong hệ là tương đương, do đó hệ có vô số nghiệm.
Nhận thấy phương trình thứ hai là phương trình thứ nhất nhân với 2. Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm. Chọn đáp án A
Câu 4: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau:
Alt: Hệ phương trình: x trừ y bằng 2 và 2x trừ 2y bằng 5, yêu cầu xác định số nghiệm của hệ.
Lời giải:
Alt: Giải thích vì sao hệ phương trình vô nghiệm: phương trình thứ hai không phải là bội số của phương trình thứ nhất, dẫn đến mâu thuẫn.
Nhận thấy nếu nhân 2 vào hai vế của phương trình thứ nhất, ta có 2x – 2y = 4, mâu thuẫn với phương trình thứ hai. Vậy hệ phương trình vô nghiệm. Chọn đáp án D
Câu 5: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau:
Alt: Hệ phương trình tuyến tính: 2x cộng y bằng 3 và 4x cộng 2y bằng 6, yêu cầu xác định số nghiệm.
Lời giải:
Alt: Giải thích chi tiết về việc nhận biết hai phương trình trong hệ là tương đương, do đó hệ có vô số nghiệm.
Nhận thấy phương trình thứ hai là phương trình thứ nhất nhân với 2. Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm. Chọn đáp án A
Câu 6: Tìm a và b để hệ phương trình sau có nghiệm (1; 1):
Alt: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số a và b, với nghiệm đã cho là (1, 1), yêu cầu tìm giá trị của a và b.
Lời giải:
Do hệ phương trình đã cho có nghiệm là (1; 1) nên:
Alt: Các bước thay giá trị x=1 và y=1 vào hệ phương trình ban đầu, sau đó giải hệ để tìm ra giá trị của a và b.
Vậy a = -2; b = 6
Chọn đáp án B.
Câu 7: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
Alt: Hệ phương trình đơn giản: x cộng y bằng 4 và x trừ y bằng 2, yêu cầu giải bằng phương pháp thế.
Lời giải:
Ta có:
Alt: Chi tiết các bước biến đổi phương trình, rút x từ phương trình thứ hai và thay vào phương trình thứ nhất để tìm y, sau đó tìm x.
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: (3; 1).
Chọn đáp án D.
Câu 8: Biết (x; y) là 1 nghiệm của hệ phương trình:
Alt: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: x trừ 2y bằng 0 và 3x trừ y bằng 5, yêu cầu tìm mối liên hệ giữa x và y.
Lời giải:
Ta có:
Alt: Giải thích từng bước giải hệ, rút x từ phương trình thứ nhất và thay vào phương trình thứ hai để tìm ra mối quan hệ giữa x và y.
Suy ra: x = 2y
Chọn đáp án A.
Câu 9: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm?
Alt: Hệ phương trình phi tuyến: x cộng y bằng 3 và x bình phương cộng y bình phương bằng 5, yêu cầu xác định số nghiệm.
Lời giải:
Ta có:
Alt: Chi tiết các bước giải hệ phương trình bằng cách thế, đưa về phương trình bậc hai và tìm ra hai nghiệm phân biệt.
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm.
Chọn đáp án C.
Câu 10: Giả sử (x; y) là nghiệm hệ phương trình:
Alt: Hệ phương trình: x cộng y bằng 1 và x nhân y bằng -1, yêu cầu tính x bình phương cộng y bình phương.
Tính x2 + y2?
Lời giải:
Alt: Sử dụng phương pháp thế và hằng đẳng thức (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy để tính giá trị của x^2 + y^2.
Chọn đáp án C.
Câu 11: Cho hai đường thẳng: d1: mx – 2(3n + 2)y = 6 và d2: (3m – 1)x + 2ny = 56. Tìm tích m.n để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm I (−2; 3).
Lời giải:
+) Thay tọa độ điểm I vào phương trình d1 ta được:
m.(−2) – 2(3n + 2).3 = 6 ⇔ −2m – 18n = 18 ⇔ m + 9n = −9
+) Thay tọa độ điểm I vào phương trình d2 ta được:
(3m – 1). (−2) + 2n.3 = 56 ⇔ −6m + 2 + 6n = 56 ⇔ m – n = −9
Suy ra hệ phương trình
Alt: Hệ phương trình tuyến tính để tìm m và n, dựa trên điều kiện hai đường thẳng cắt nhau tại điểm I.
Vậy m. n = 0
Đáp án cần chọn là: A
Câu 12: Cho hai đường thẳng d1: mx – 2(3n + 2)y = 18 và d2: (3m – 1)x + 2ny = −37. Tìm các giá trị của m và n để d1, d2 cắt nhau tại điểm I (−5; 2)
Lời giải:
+) Thay tọa độ điểm I vào phương trình d1 ta được:
m.(−5) – 2(3n + 2).2 = 18 ⇔ −5m – 12n − 8 = 18 ⇔ 5m + 12n = −26
+) Thay tọa độ điểm I vào phương trình d2 ta được:
(3m – 1). (−5) + 2n.2 = −37 ⇔ −15m + 5 + 4n = −37 ⇔ 15m – 4n = 42
Suy ra hệ phương trình
Alt: Hệ phương trình tuyến tính để tìm m và n, khi biết hai đường thẳng cắt nhau tại điểm I (-5, 2).
Vậy m = 2; n = −3
Đáp án cần chọn là: C
Câu 13: Tìm a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm M (3; −5), N (1; 2)
Alt: Hệ phương trình tuyến tính: 3a cộng b bằng -5 và a cộng b bằng 2, cần giải để tìm a và b, là hệ số của đường thẳng.
Lời giải:
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng ta được 3a + b = −5
Thay tọa độ điểm N vào phương trình đường thẳng ta được a + b = 2
Từ đó ta có hệ phương trình
Alt: Các bước giải hệ phương trình để tìm ra a và b, là hệ số góc và tung độ gốc của đường thẳng đi qua hai điểm M và N.
Đáp án cần chọn là: D
Câu 14: Tìm a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A (2; 1) và B (−2; 3)
Alt: Hệ phương trình tuyến tính: 2a cộng b bằng 1 và -2a cộng b bằng 3, yêu cầu giải để tìm a và b.
Lời giải:
Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng ta được 2a + b = 1
Thay tọa độ điểm B vào phương trình đường thẳng ta được −2a + b = 3
Từ đó ta có hệ phương trình
Alt: Chi tiết cách giải hệ phương trình để tìm ra hệ số a và b của đường thẳng đi qua hai điểm A và B.
Đáp án cần chọn là: A
Câu 15: Số nghiệm của hệ phương trình sau là?
Alt: Hệ phương trình chứa căn thức: căn bậc hai của x cộng căn bậc hai của y bằng 2 và x cộng y bằng 6, yêu cầu xác định số nghiệm.
Lời giải:
Alt: Các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ, đưa về hệ đơn giản hơn và giải.
Đặt khi đó ta có hệ phương trình
Alt: Hệ phương trình mới sau khi đặt ẩn phụ, dễ dàng giải hơn so với hệ ban đầu.
Trả lại biến ta được:
(Thỏa mãn điều kiện)
Alt: Các bước trả lại biến và kiểm tra điều kiện để xác định nghiệm hợp lệ của hệ phương trình ban đầu.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Alt: Nghiệm duy nhất của hệ phương trình ban đầu sau khi giải và kiểm tra điều kiện.
Đáp án cần chọn là: A
Hy vọng với các bài tập và lời giải chi tiết trên, các em học sinh sẽ nắm vững phương pháp giải hệ phương trình và đạt kết quả tốt trong học tập. Chúc các em thành công!
