1. Công thức nhị thức Newton
Công thức nhị thức Newton là một công cụ mạnh mẽ để khai triển biểu thức (a + b)n, trong đó a và b là các số thực, và n là một số nguyên dương. Công thức này có dạng:
(a + b)n = ∑k=0n Cnk an-k bk = Cn0 an + Cn1 an-1 b + … + Cnk an-k bk + … + Cnn bn
Trong đó, Cnk là tổ hợp chập k của n, được tính bằng công thức:
Cnk = n! / (k! * (n-k)!)
Quy ước: a0 = b0 = 1.
Alt: Công thức khai triển nhị thức Newton tổng quát với ký hiệu sigma và tổ hợp chập k của n.
Các tính chất quan trọng của khai triển nhị thức Newton:
- Số lượng hạng tử: Khai triển có n + 1 hạng tử.
- Số mũ: Số mũ của ‘a’ giảm dần từ n đến 0, trong khi số mũ của ‘b’ tăng dần từ 0 đến n. Tổng số mũ của ‘a’ và ‘b’ trong mỗi hạng tử luôn bằng n.
- Hệ số: Các hệ số của các hạng tử cách đều hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau (tính chất đối xứng).
- Số hạng tổng quát: Số hạng thứ k+1 (Tk+1) của khai triển là: Tk+1 = Cnk an-k bk. Đây là công thức quan trọng để tìm một số hạng cụ thể trong khai triển.
Hệ quả quan trọng:
- Nếu a = b = 1, ta có: 2n = Cn0 + Cn1 + … + Cnn (Tổng các hệ số trong khai triển (1+1)n bằng 2n).
- Nếu a = 1 và b = -1, ta có: 0 = Cn0 – Cn1 + … + (-1)k Cnk + … + (-1)n Cnn (Tổng các hệ số với dấu xen kẽ bằng 0).
Các dạng khai triển nhị thức Newton thường gặp:
Alt: Bảng tóm tắt các khai triển nhị thức Newton phổ biến cho các giá trị n nhỏ.
2. Ví dụ minh họa Cách Khai Triển Nhị Thức Newton
Ví dụ 1: Khai triển các biểu thức sau:
a) (1 + x)4
b) (x – 1)5
c) (2x + y)4
d) (x – 3y)5
Lời giải:
a) (1 + x)4 = C40 14 + C41 13 x + C42 12 x2 + C43 1 x3 + C44 x4 = 1 + 4x + 6x2 + 4x3 + x4
b) (x – 1)5 = x5 – 5x4 + 10x3 – 10x2 + 5x – 1
c) (2x + y)4 = C40 (2x)4 + C41 (2x)3 y + C42 (2x)2 y2 + C43 (2x) y3 + C44 y4 = 16x4 + 32x3y + 24x2y2 + 8xy3 + y4
d) (x – 3y)5 = x5 – 5x4(3y) + 10x3(3y)2 – 10x2(3y)3 + 5x(3y)4 – (3y)5 = x5 – 15x4y + 90x3y2 – 270x2y3 + 405xy4 – 243y5
Ví dụ 2: Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (2x – 1)4.
Lời giải:
Số hạng tổng quát của khai triển (2x – 1)4 là:
Tk+1 = C4k (2x)4-k (-1)k = (-1)k C4k 24-k x4-k
Số hạng chứa x3 ứng với 4 – k = 3 => k = 1.
Vậy số hạng chứa x3 là: (-1)1 C41 23 x3 = -32x3.
Ví dụ 3: Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển (2 + 3x)5.
Lời giải:
Số hạng tổng quát của khai triển (2 + 3x)5 là:
Tk+1 = C5k 25-k (3x)k = C5k 25-k 3k xk
Số hạng chứa x4 ứng với k = 4.
Vậy hệ số của số hạng chứa x4 là: C54 21 34 = 5 2 81 = 810.
Ví dụ 4: Tính tổng các hệ số trong khai triển (1 – 2x)5.
Lời giải:
Đặt (1 – 2x)5 = a0 + a1x + a2x2 + … + a5x5.
Cho x = 1, ta có tổng các hệ số: a0 + a1 + a2 + … + a5 = (1 – 2)5 = -1.
Ví dụ 5: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (x + 2/x4)n, biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn Cn1 + Cn2 = 15.
Lời giải:
Điều kiện: n ≥ 2, n ∈ ℕ*
Cn1 + Cn2 = 15
⇔ n + n(n-1)/2 = 15
⇔ n2 + n – 30 = 0
⇔ n = 5 (thỏa mãn) hoặc n = -6 (loại).
Với n = 5, số hạng tổng quát của khai triển (x + 2/x4)5 là:
Tk+1 = C5k x5-k (2/x4)k = C5k 2k x5-5k
Số hạng không chứa x tương ứng với 5 – 5k = 0 ⇔ k = 1.
Suy ra số hạng không chứa x là: C51 21 = 10.
Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức (√4+√3)5-(√4-√3)5 và biểu diễn dưới dạng a + b√3.
Alt: Hình ảnh minh họa các bước khai triển và rút gọn biểu thức chứa căn sử dụng nhị thức Newton.
Vậy (√4+√3)5-(√4-√3)5 = 0 – 3538√3 = -3538√3. Do đó, a=0 và b=-3538
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Khai triển các biểu thức sau:
a) (2x – 3)4
b) (x + 2y)4
c) (1/x + x3)4
d) (xy + 2)5
Bài 2. Tìm hệ số của x4 trong khai triển của (3x – 1)5.
Bài 3. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (x2 + 4/x)4.
Bài 4. Tìm hệ số chứa x3 trong khai triển nhị thức (2x3 + 1/x)5 với x ≠ 0.
Bài 5. Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 – 0,02)4 để tính giá trị gần đúng của 0,984.
Nắm vững cách khai triển nhị thức Newton giúp bạn giải quyết nhiều bài toán đại số và giải tích một cách hiệu quả. Luyện tập thường xuyên với các ví dụ và bài tập sẽ giúp bạn thành thạo kỹ năng này.
