Hàm số logarit và các bài tập liên quan đến đạo Hàm Logarit là một phần quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Để nắm vững kiến thức này, hãy cùng điểm qua những nội dung cốt lõi.
Bảng tổng hợp các kiến thức cơ bản về hàm số logarit và đạo hàm logarit, giúp học sinh dễ dàng ôn tập và tra cứu.
1. Lý Thuyết Tổng Quan Về Hàm Số Logarit
1.1. Khái niệm về đạo hàm
Để hiểu rõ về đạo hàm logarit, cần nắm vững định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm nói chung.
1.1.1. Định nghĩa và ý nghĩa
Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ là giới hạn (nếu tồn tại) của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số khi số gia của đối số tiến dần đến 0. Ký hiệu: y'(x₀) hoặc f'(x₀).
Công thức:
f'(x₀) = lim (x→x₀) [f(x) – f(x₀)] / (x – x₀)
hoặc
f'(x₀) = lim (Δx→0) [f(x₀ + Δx) – f(x₀)] / Δx
Hình ảnh minh họa khái niệm số gia của hàm số và số gia của đối số, giúp học sinh hình dung rõ hơn về định nghĩa đạo hàm.
Ý nghĩa: Đạo hàm tại một điểm thể hiện tốc độ biến thiên của hàm số tại điểm đó.
1.1.2. Các quy tắc tính đạo hàm quan trọng
Một số quy tắc đạo hàm thường dùng:
- (u + v)’ = u’ + v’ (Đạo hàm của tổng)
- (u – v)’ = u’ – v’ (Đạo hàm của hiệu)
- (u.v)’ = u’.v + u.v’ (Đạo hàm của tích)
- (u/v)’ = (u’.v – u.v’) / v² (Đạo hàm của thương)
- (ku)’ = k.u’ (k là hằng số)
- Đạo hàm của hàm hợp: Nếu y = f(u) và u = g(x) thì y’x = y’u . u’x.
Bảng tổng hợp các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm hợp, hỗ trợ học sinh trong quá trình tính toán đạo hàm.
1.2. Kiến thức về hàm số logarit
1.2.1. Định nghĩa và điều kiện xác định
Hàm số logarit cơ số a của x (với a > 0, a ≠ 1) được định nghĩa là:
y = logₐ(x)
Tập xác định của hàm số là D = (0; +∞).
Xét hàm số y = logₐ[P(x)]:
- Điều kiện xác định: P(x) > 0.
- Nếu a chứa biến x, cần bổ sung điều kiện 0 < a ≠ 1.
- Trường hợp y = logₐ[P(x)]ⁿ: P(x) > 0 (n lẻ) hoặc P(x) ≠ 0 (n chẵn).
1.2.2. Đồ thị hàm số logarit
Đồ thị hàm số y = logₐ(x) có các đặc điểm sau:
- Luôn đi qua điểm (1; 0) và (a; 1).
- Nhận trục Oy làm tiệm cận đứng.
- Nằm phía bên phải trục tung.
Hình ảnh minh họa đồ thị hàm số logarit với hai trường hợp a > 1 (hàm đồng biến) và 0 < a < 1 (hàm nghịch biến).
2. Đạo Hàm Logarit: Công Thức và Ứng Dụng
2.1. Định nghĩa
Cho hàm số y = logₐ(x), đạo hàm của nó là:
y’ = 1 / (x.ln(a))
Trường hợp tổng quát: y = logₐ[u(x)]
y’ = u'(x) / [u(x).ln(a)]
2.2. Các tính chất quan trọng
- Với a > 1: Hàm số y = logₐ(x) đồng biến trên (0; +∞).
- Với 0 < a < 1: Hàm số y = logₐ(x) nghịch biến trên (0; +∞).
2.3. Bảng công thức đạo hàm logarit
| Hàm số | Đạo hàm |
|---|---|
| y = logₐ(x) | y’ = 1 / (x.ln(a)) |
| y = ln(x) | y’ = 1 / x |
| y = logₐ[u(x)] | y’ = u'(x) / [u(x).ln(a)] |
| y = ln[u(x)] | y’ = u'(x) / u(x) |
2.4. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y = ln(x² + 1).
Giải:
u(x) = x² + 1 => u'(x) = 2x
y’ = u'(x) / u(x) = 2x / (x² + 1)
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số y = log₂(3x + 5).
Giải:
u(x) = 3x + 5 => u'(x) = 3
y’ = u'(x) / [u(x).ln(2)] = 3 / [(3x + 5).ln(2)]
3. Bài Tập Vận Dụng
Để củng cố kiến thức, hãy tự giải các bài tập về đạo hàm logarit.
Nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số logarit và đạo hàm logarit. Chúc bạn thành công!
