Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt là trong phần hình học không gian. Việc nắm vững công thức này không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa mà còn hỗ trợ đắc lực trong các kỳ thi quan trọng như thi tốt nghiệp THPT. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết công thức, các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để giúp bạn hiểu rõ và áp dụng thành thạo.
Công Thức Tổng Quát
Cho điểm M(x₀; y₀; z₀) và mặt phẳng (P) có phương trình: Ax + By + Cz + D = 0, với A² + B² + C² > 0. Khi đó, khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), ký hiệu là d(M, (P)), được tính theo công thức:
d(M, (P)) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)
Ảnh minh họa công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng P trong không gian Oxyz, với điểm M có tọa độ x0, y0, z0 và mặt phẳng P được biểu diễn bằng phương trình tổng quát.
Lưu ý:
- Mặt phẳng (P) phải được biểu diễn dưới dạng phương trình tổng quát.
- A, B, C là các hệ số của x, y, z trong phương trình mặt phẳng.
- x₀, y₀, z₀ là tọa độ của điểm M.
- D là hằng số trong phương trình mặt phẳng.
- Biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối đảm bảo khoảng cách luôn là một số dương.
Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng công thức, chúng ta cùng xem xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ điểm A(1; -2; 3) đến mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 5 = 0.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức, ta có:
d(A, (P)) = |2(1) – (-2) + 2(3) – 5| / √(2² + (-1)² + 2²) = |2 + 2 + 6 – 5| / √(4 + 1 + 4) = |5| / √9 = 5/3.
Vậy, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là 5/3.
Ví dụ 2: Cho điểm B(0; 1; -1) và mặt phẳng (Q): x + y – z + 1 = 0. Tìm điểm C trên trục Oz sao cho khoảng cách từ C đến (Q) bằng √3.
Hướng dẫn giải:
Điểm C nằm trên trục Oz nên có tọa độ C(0; 0; c). Khoảng cách từ C đến (Q) là:
d(C, (Q)) = |0 + 0 – c + 1| / √(1² + 1² + (-1)²) = |1 – c| / √3.
Theo đề bài, d(C, (Q)) = √3. Suy ra:
|1 – c| / √3 = √3 => |1 – c| = 3.
Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: 1 – c = 3 => c = -2. Vậy C(0; 0; -2).
- Trường hợp 2: 1 – c = -3 => c = 4. Vậy C(0; 0; 4).
Vậy có hai điểm C thỏa mãn là C(0; 0; -2) và C(0; 0; 4).
Ảnh mô tả ví dụ về việc tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, trong đó các bước giải được trình bày rõ ràng và dễ hiểu, giúp học sinh hình dung trực quan hơn về quá trình áp dụng công thức.
Ví dụ 3: Tìm m để mặt phẳng (P): x – 2y + 2z + m = 0 cách điểm A(1; 2; -1) một khoảng bằng 2.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức khoảng cách:
d(A, (P)) = |1 – 2(2) + 2(-1) + m| / √(1² + (-2)² + 2²) = |1 – 4 – 2 + m| / √9 = |m – 5| / 3.
Theo đề bài, d(A, (P)) = 2. Suy ra:
|m – 5| / 3 = 2 => |m – 5| = 6.
Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: m – 5 = 6 => m = 11.
- Trường hợp 2: m – 5 = -6 => m = -1.
Vậy m có hai giá trị là m = 11 và m = -1.
Bài Tập Tự Luyện
Để củng cố kiến thức, bạn hãy tự giải các bài tập sau:
Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm M(2; -3; 1) đến mặt phẳng (α): 3x – 4y + 12z – 1 = 0.
Bài 2: Cho điểm N(1; 0; -2) và mặt phẳng (β): x + 2y – z + 5 = 0. Tìm điểm P trên trục Ox sao cho khoảng cách từ P đến (β) bằng 3.
Bài 3: Tìm m để mặt phẳng (γ): 2x + y – 2z + m = 0 cách điểm Q(-1; 2; 0) một khoảng bằng 1.
Bài 4: Cho hai mặt phẳng song song (P): x – y + z + 1 = 0 và (Q): x – y + z + 4 = 0. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng này. (Gợi ý: Chọn một điểm bất kỳ trên mặt phẳng (P) rồi tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng (Q)).
Bài 5: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O(0; 0; 0) đến mặt phẳng (S): x + 2y – 2z + 9 = 0.
Hình ảnh biểu thị một loạt các bài tập tự luyện về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, được thiết kế để giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Ứng Dụng Thực Tế
Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng không chỉ có ứng dụng trong toán học mà còn trong nhiều lĩnh vực khác như:
- Xây dựng: Xác định khoảng cách an toàn từ một công trình đến một đường dây điện cao thế.
- Kiến trúc: Tính toán khoảng cách tối ưu giữa các bức tường trong một tòa nhà.
- Thiết kế đồ họa: Xác định khoảng cách từ một đối tượng 3D đến một mặt phẳng để tạo hiệu ứng đổ bóng chân thực.
- Robot học: Tính toán khoảng cách từ robot đến một vật cản để tránh va chạm.
Kết Luận
Nắm vững công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 12. Bằng cách hiểu rõ công thức, luyện tập các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện, bạn sẽ có thể tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến khoảng cách trong không gian. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và giúp bạn đạt kết quả cao trong học tập.
