Trong hình học không gian, khái niệm hai mặt phẳng vuông góc đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết nhiều bài toán. Vậy, Hai Mặt Phẳng Vuông Góc Với Nhau Khi Nào? Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ lý thuyết, điều kiện, và các bài tập minh họa để bạn hiểu rõ hơn về chủ đề này.
I. Góc Giữa Hai Mặt Phẳng
Trước khi đi vào định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc, chúng ta cần hiểu rõ về góc giữa hai mặt phẳng.
1. Định nghĩa:
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Để xác định góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β), ta thực hiện như sau:
- Tìm giao tuyến c của (α) và (β).
- Trong (α), vẽ đường thẳng a vuông góc với c tại điểm I.
- Trong (β), vẽ đường thẳng b vuông góc với c tại điểm I.
- Góc giữa (α) và (β) là góc giữa hai đường thẳng a và b.
Alt text: Minh họa góc giữa hai mặt phẳng alpha và beta, được xác định bởi hai đường thẳng vuông góc với giao tuyến.
2. Diện tích hình chiếu:
Diện tích hình chiếu của một đa giác là một khái niệm quan trọng liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng. Nếu S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng (α) và S’ là diện tích hình chiếu H’ của H trên mặt phẳng (β), thì:
S’ = S.cos(φ)
Trong đó φ là góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β).
II. Hai Mặt Phẳng Vuông Góc
1. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau khi góc giữa chúng bằng 90 độ. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau, ta ký hiệu (α) ⊥ (β).
2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc:
Điều kiện quan trọng nhất để xác định hai mặt phẳng vuông góc là Định lý 1:
Định lý 1: Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
Tức là, nếu (α) chứa đường thẳng a và a ⊥ (β) thì (α) ⊥ (β).
Hệ quả 1:
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
Hệ quả 2:
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P).
Định lý 2:
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
III. Ứng Dụng Trong Các Hình Khối
Hiểu rõ về hai mặt phẳng vuông góc giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán liên quan đến hình lăng trụ, hình hộp, hình chóp.
1. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương:
- Hình lăng trụ đứng: Là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.
Alt text: Hình ảnh minh họa hình lăng trụ đứng với các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.
- Hình lăng trụ đều: Là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
- Hình hộp đứng: Là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
- Hình hộp chữ nhật: Là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
- Hình lập phương: Là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.
Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng luôn vuông góc với mặt phẳng đáy và là những hình chữ nhật.
2. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều:
- Hình chóp đều: Là hình chóp có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
Nhận xét: Các mặt bên của hình chóp đều là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau. Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với đáy các góc bằng nhau.
IV. Bài Tập Vận Dụng
Để củng cố kiến thức về hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi nào, chúng ta hãy cùng xét một số bài tập sau:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a√2. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SBD).
Hướng dẫn giải:
- Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD.
- SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD.
- Suy ra BD ⊥ (SAC).
- Do đó, (SBD) ⊥ (SAC) (vì (SBD) chứa BD vuông góc với (SAC)).
Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh rằng (ACC’A’) ⊥ (BDD’B’).
Hướng dẫn giải:
- Trong hình lập phương, AC ⊥ BD.
- AA’ ⊥ (ABCD) ⇒ AA’ ⊥ BD.
- Suy ra BD ⊥ (ACC’A’).
- Vậy (BDD’B’) ⊥ (ACC’A’).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = a√3. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a. Chứng minh rằng (SAB) ⊥ (SBC).
Hướng dẫn giải:
- Vì ABC là tam giác vuông tại B nên AB ⊥ BC.
- SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC.
- Suy ra BC ⊥ (SAB).
- Vậy (SBC) ⊥ (SAB).
V. Kết Luận
Nắm vững lý thuyết và điều kiện hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi nào là chìa khóa để giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn kiến thức cần thiết và những ví dụ minh họa dễ hiểu. Chúc các bạn học tốt!
