Trong hình học giải tích, elip là một trong những đường conic quan trọng. Việc nắm vững các đặc tính của elip, đặc biệt là bán kính qua tiêu, sẽ giúp ích rất nhiều trong việc giải quyết các bài toán liên quan. Bài viết này sẽ đi sâu vào khái niệm Bán Kính Qua Tiêu Của Elip, cung cấp công thức tính toán chi tiết, ví dụ minh họa và các ứng dụng thực tế.
Định Nghĩa Bán Kính Qua Tiêu Của Elip
Cho elip có phương trình chính tắc x²/a² + y²/b² = 1, với a > b > 0. Elip có hai tiêu điểm F₁(–c; 0) và F₂(c; 0), trong đó c² = a² – b².
Bán kính qua tiêu của một điểm M(x; y) trên elip là khoảng cách từ điểm đó đến hai tiêu điểm của elip. Ta có hai bán kính qua tiêu:
- MF₁: Khoảng cách từ M đến tiêu điểm F₁.
- MF₂: Khoảng cách từ M đến tiêu điểm F₂.
Công Thức Tính Bán Kính Qua Tiêu
Sử dụng định nghĩa và phương trình elip, ta có thể suy ra công thức tính bán kính qua tiêu như sau:
- MF₁ = a + (c/a)x
- MF₂ = a – (c/a)x
Trong đó:
- a là độ dài bán trục lớn của elip.
- c là tiêu cự của elip (c² = a² – b²).
- x là hoành độ của điểm M trên elip.
Chứng minh công thức:
Công thức trên có thể chứng minh bằng cách sử dụng định nghĩa khoảng cách giữa hai điểm và phương trình của elip. Việc chứng minh chi tiết sẽ giúp hiểu rõ hơn về bản chất của công thức và cách nó được hình thành.
Ví Dụ Minh Họa
Xét elip có phương trình x²/169 + y²/144 = 1. Ta có a² = 169, b² = 144, suy ra a = 13, b = 12, và c = √(a² – b²) = √(169 – 144) = 5.
Alt text: Hình ảnh minh họa elip với trục lớn là 2a, trục nhỏ là 2b và tiêu cự 2c, thể hiện mối quan hệ giữa a, b, c trong elip.
Giả sử M(x; y) là một điểm trên elip. Khi đó, bán kính qua tiêu của M được tính như sau:
- MF₁ = 13 + (5/13)x
- MF₂ = 13 – (5/13)x
Ví dụ, nếu x = 0, ta có MF₁ = MF₂ = 13 = a. Nếu x = 13, ta có MF₁ = 18 và MF₂ = 8.
Tính Chất Quan Trọng Của Bán Kính Qua Tiêu
Một tính chất quan trọng của bán kính qua tiêu là tổng của chúng luôn bằng 2a, với a là độ dài bán trục lớn của elip:
MF₁ + MF₂ = (a + (c/a)x) + (a – (c/a)x) = 2a
Tính chất này có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán liên quan đến elip.
Ứng Dụng Của Bán Kính Qua Tiêu
Bán kính qua tiêu có nhiều ứng dụng trong các bài toán hình học giải tích và các lĩnh vực khác. Dưới đây là một số ví dụ:
-
Xác định vị trí điểm trên elip: Biết bán kính qua tiêu và một số thông tin khác về elip, ta có thể xác định tọa độ của điểm trên elip.
-
Bài toán quỹ tích: Bán kính qua tiêu có thể được sử dụng để tìm quỹ tích của một điểm thỏa mãn một điều kiện nào đó liên quan đến elip.
-
Ứng dụng trong vật lý: Elip có tính chất quang học đặc biệt: mọi tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm của elip, sau khi phản xạ trên elip, sẽ đi qua tiêu điểm còn lại. Tính chất này được ứng dụng trong việc thiết kế các thiết bị quang học.
Bài Tập Vận Dụng
Bài 1: Cho elip (E): x²/25 + y²/9 = 1. Tìm tọa độ các tiêu điểm và tính bán kính qua tiêu của điểm M(3; y) trên elip.
Lời giải:
Ta có a² = 25, b² = 9, suy ra a = 5, b = 3, và c = √(a² – b²) = √(25 – 9) = 4.
Tọa độ các tiêu điểm là F₁(–4; 0) và F₂(4; 0).
Để tìm y, thay x = 3 vào phương trình elip: 3²/25 + y²/9 = 1 => y² = 9(1 – 9/25) = 9(16/25) => y = ±(3*4)/5 = ±12/5.
Vậy M có tọa độ (3; 12/5) hoặc (3; -12/5).
Alt text: Mô hình elip với các điểm M nằm trên đường elip, thể hiện sự đa dạng vị trí của M và cách tính bán kính qua tiêu.
Bán kính qua tiêu của M:
- MF₁ = 5 + (4/5)*3 = 5 + 12/5 = 37/5
- MF₂ = 5 – (4/5)*3 = 5 – 12/5 = 13/5
Bài 2: Viết phương trình elip (E) biết độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 8. Tính bán kính qua tiêu của điểm N có hoành độ bằng 3.
Lời giải:
Độ dài trục lớn 2a = 10 => a = 5. Tiêu cự 2c = 8 => c = 4.
Ta có b² = a² – c² = 25 – 16 = 9 => b = 3.
Phương trình elip (E): x²/25 + y²/9 = 1.
Để tìm tung độ của N, thay x = 3 vào phương trình elip: 3²/25 + y²/9 = 1 => y² = 9(1 – 9/25) = 9(16/25) => y = ±(3*4)/5 = ±12/5.
Vậy N có tọa độ (3; 12/5) hoặc (3; -12/5).
Bán kính qua tiêu của N:
- NF₁ = 5 + (4/5)*3 = 5 + 12/5 = 37/5
- NF₂ = 5 – (4/5)*3 = 5 – 12/5 = 13/5
Kết Luận
Bán kính qua tiêu là một khái niệm quan trọng trong hình học giải tích, đặc biệt là khi nghiên cứu về elip. Việc nắm vững công thức tính và các tính chất liên quan sẽ giúp giải quyết các bài toán một cách hiệu quả. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và chi tiết về bán kính qua tiêu của elip.
