Tam Thức Newton là một công cụ mạnh mẽ trong toán học, đặc biệt hữu ích trong việc khai triển các biểu thức đại số phức tạp. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về công thức tam thức Newton, các ứng dụng của nó, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để giúp bạn nắm vững kiến thức này.
Công thức khai triển Tam thức Newton
Công thức tam thức Newton cho phép khai triển một biểu thức có dạng (a + b)^n, trong đó a và b là các số thực, và n là một số nguyên dương.
Ảnh minh họa công thức tổng quát của tam thức Newton, với các hệ số nhị thức và số mũ của a và b.
Công thức tổng quát:
(a + b)^n = ∑(k=0 đến n) C(n, k) a^(n-k) b^k
Trong đó:
- C(n, k) là tổ hợp chập k của n, còn được gọi là hệ số nhị thức, được tính bằng công thức: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
- n! là giai thừa của n, tức là tích của tất cả các số nguyên dương từ 1 đến n.
- a và b là các số hoặc biểu thức đại số.
- n là số mũ nguyên dương.
Tính chất quan trọng của khai triển Tam thức Newton:
- Số các hạng tử trong khai triển là n + 1.
- Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, trong khi số mũ của b tăng dần từ 0 đến n. Tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n.
- Các hệ số của các hạng tử cách đều hai đầu thì bằng nhau: C(n, k) = C(n, n-k).
- Số hạng tổng quát (thứ k+1) trong khai triển là: T(k+1) = C(n, k) a^(n-k) b^k.
Hệ quả quan trọng:
- Nếu a = b = 1, ta có: 2^n = C(n, 0) + C(n, 1) + … + C(n, n).
- Nếu a = 1 và b = -1, ta có: 0 = C(n, 0) – C(n, 1) + C(n, 2) – … + (-1)^n * C(n, n).
Các dạng khai triển Tam thức Newton cơ bản:
Ảnh minh họa các khai triển nhị thức Newton thường gặp như (a+b)^2, (a-b)^2, (a+b)^3…
Ví dụ minh họa Tam thức Newton
Để hiểu rõ hơn về cách sử dụng công thức tam thức Newton, hãy xem xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Khai triển (1 + x)^4
(1 + x)^4 = C(4, 0) 1^4 + C(4, 1) 1^3 x + C(4, 2) 1^2 x^2 + C(4, 3) 1 x^3 + C(4, 4) x^4
= 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4
Ví dụ 2: Khai triển (x – 1)^5
(x – 1)^5 = x^5 – 5x^4 + 10x^3 – 10x^2 + 5x – 1
Ví dụ 3: Tìm số hạng chứa x^3 trong khai triển (2x – 1)^4
Số hạng tổng quát trong khai triển (2x – 1)^4 là:
T(k+1) = C(4, k) (2x)^(4-k) (-1)^k = (-1)^k C(4, k) 2^(4-k) * x^(4-k)
Để tìm số hạng chứa x^3, ta cần giải phương trình: 4 – k = 3 => k = 1
Vậy số hạng chứa x^3 là: (-1)^1 C(4, 1) 2^(4-1) * x^3 = -32x^3
Ví dụ 4: Tìm hệ số của số hạng chứa x^4 trong khai triển (2 + 3x)^5
Số hạng tổng quát trong khai triển (2 + 3x)^5 là:
T(k+1) = C(5, k) 2^(5-k) (3x)^k = C(5, k) 2^(5-k) 3^k * x^k
Để tìm hệ số của số hạng chứa x^4, ta cần giải phương trình: k = 4
Vậy hệ số của số hạng chứa x^4 là: C(5, 4) 2^(5-4) 3^4 = 810
Ví dụ 5: Tính tổng các hệ số trong khai triển (1 – 2x)^5
Đặt (1 – 2x)^5 = a0 + a1x + a2x^2 + … + a5x^5.
Thay x = 1, ta có tổng các hệ số: a0 + a1 + a2 + … + a5 = (1 – 2)^5 = -1.
Ví dụ 6: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn C(n, 1) + C(n, 2) = 15. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (x + 2/x^4)^n.
Giải:
Từ C(n, 1) + C(n, 2) = 15, ta tìm được n = 5.
Số hạng tổng quát của khai triển (x + 2/x^4)^5 là: C(5, k) 2^k x^(5-5k)
Số hạng không chứa x tương ứng với 5 – 5k = 0 => k = 1
Vậy số hạng không chứa x là: C(5, 1) * 2^1 = 10.
Ví dụ 7: Tìm các số nguyên a, b biết (√4-√3)^5 – (√4+√3)^5 = a + b√3.
Ảnh minh họa cách giải chi tiết ví dụ 7, áp dụng công thức và rút gọn để tìm a và b.
Ví dụ 8: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 0.03)^5 để tính giá trị gần đúng của 1.03^5.
Ta có: (1 + 0.03)^5 = 1 + 5(0.03) + 10(0.03)^2 + …
Vậy 1.03^5 ≈ 1 + 5*(0.03) = 1.15.
Bài tập tự luyện về Tam thức Newton
Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử sức với các bài tập sau:
Bài 1: Khai triển các biểu thức sau:
a) (2x – 3)^4
b) (x + 2y)^4
c) (1/x + x^3)^4
d) (xy + 2)^5
Bài 2: Tìm hệ số của x^4 trong khai triển của (3x – 1)^5.
Bài 3: Biểu diễn (√3+√2)^5 – (√3-√2)^5 dưới dạng a + b√2 với a, b là các số nguyên.
Bài 4: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 – 0.02)^4 để tính giá trị gần đúng của 0.98^4.
Bài 5: Tìm hệ số chứa x^3 trong khai triển nhị thức (2x^3 + 1/x)^5 với x ≠ 0.
Tam thức Newton là một công cụ quan trọng trong toán học. Việc nắm vững công thức và các ứng dụng của nó sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán phức tạp một cách dễ dàng. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết và hữu ích về tam thức Newton. Chúc bạn học tốt!
