Để giải quyết bài toán tìm điều kiện của tham số m sao cho phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, chúng ta cần nắm vững kiến thức về phương trình bậc hai và các điều kiện liên quan đến nghiệm của nó. Bài viết này sẽ đi sâu vào phân tích và giải quyết bài toán cụ thể, tập trung vào việc xác định tập hợp S các giá trị nguyên của tham số m.
Bài toán: Gọi S Là Tập Hợp Tất Cả Các Giá Trị Nguyên Của Tham Số M sao cho phương trình (16^x – m.4^{x+1} + 5m^2 – 45 = 0) có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?
- A. 13
- B. 3
- C. 6
- D. 4
Lời giải chi tiết:
Để đơn giản hóa phương trình, ta thực hiện phép đặt ẩn phụ. Đặt (t = 4^x), với điều kiện (t > 0). Khi đó, phương trình ban đầu trở thành:
(t^2 – 4mt + 5m^2 – 45 = 0) (*)
Điều kiện để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt tương đương với việc phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt. Để điều này xảy ra, ta cần đồng thời các điều kiện sau:
- Delta (Δ) phải lớn hơn 0: Điều này đảm bảo phương trình có hai nghiệm phân biệt.
- Tổng hai nghiệm (S) phải lớn hơn 0: Điều này đảm bảo hai nghiệm này đều dương.
- Tích hai nghiệm (P) phải lớn hơn 0: Điều này cũng đảm bảo hai nghiệm này đều dương.
Hình ảnh minh họa đồ thị hàm số bậc hai, thể hiện điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt, nhấn mạnh tầm quan trọng của biệt thức delta (Δ), tổng (S) và tích (P) của hai nghiệm.
Áp dụng các điều kiện trên, ta có hệ bất phương trình:
(begin{cases}
Delta’ > 0
S > 0
P > 0
end{cases}) (Leftrightarrow) (begin{cases}
(-2m)^2 – (5m^2 – 45) > 0
4m > 0
5m^2 – 45 > 0
end{cases})
Giải hệ bất phương trình này, ta được:
(begin{cases}
-m^2 + 45 > 0
m > 0
5m^2 – 45 > 0
end{cases}) (Leftrightarrow) (begin{cases}
-3sqrt{5} < m < 3sqrt{5}
m > 0
begin{bmatrix}
m < -3
m > 3
end{bmatrix}
end{cases})
Kết hợp tất cả các điều kiện, ta có: (3 < m < 3sqrt{5})
Vì m là số nguyên, ta tìm các giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện trên. Ta có (3sqrt{5} approx 6.7), vậy các giá trị nguyên của m là:
(m in {4, 5, 6})
Vậy, tập hợp S có 3 phần tử.
Đáp án đúng: B
Trục số hiển thị các giá trị nguyên của m nằm trong khoảng (3, 3√5), cụ thể là 4, 5 và 6, biểu diễn trực quan tập hợp S.
Kết luận:
Bài toán này đòi hỏi sự hiểu biết vững chắc về phương trình bậc hai, điều kiện để phương trình có nghiệm, và kỹ năng giải bất phương trình. Việc đặt ẩn phụ giúp đơn giản hóa bài toán, và việc phân tích kỹ lưỡng các điều kiện giúp tìm ra đáp án chính xác. Hy vọng bài giải này sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn về dạng toán này và tự tin giải quyết các bài toán tương tự.
