Để nắm vững kiến thức về phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz, đặc biệt là các đường thẳng có vị trí đặc biệt, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về phương trình đường thẳng Song Song Với Trục Oy. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập vận dụng, giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
A. Phương pháp xác định phương trình đường thẳng song song với trục Oy
Để viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và song song với một đường thẳng Δ cho trước, ta thực hiện các bước sau:
- Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ: Vectơ chỉ phương cho biết hướng của đường thẳng.
- Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d: Vì d song song với Δ, vectơ chỉ phương của d chính là vectơ chỉ phương của Δ. Tức là ud→ = uΔ→.
- Viết phương trình đường thẳng d: Sử dụng điểm M và vectơ chỉ phương ud→ để viết phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc của đường thẳng d.
Trường hợp đặc biệt quan trọng:
- Đường thẳng d song song với trục Oy: Trong trường hợp này, vectơ chỉ phương của d có dạng (0; 1; 0). Tức là thành phần x và z bằng 0, chỉ có thành phần y khác 0.
Alt text: Minh họa vectơ chỉ phương (0;1;0) của đường thẳng song song với trục Oy trong không gian Oxyz
B. Ví dụ minh họa phương trình đường thẳng song song trục Oy
Để hiểu rõ hơn về cách viết phương trình đường thẳng song song với trục Oy, chúng ta sẽ xét một số ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A(1; -2; 3) và song song với trục Oy.
Lời giải:
Vì đường thẳng d song song với trục Oy, vectơ chỉ phương của d là u→ = (0; 1; 0).
Phương trình tham số của đường thẳng d là:
x = 1
y = -2 + t
z = 3
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm B(2; 5; -1). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua B và song song với trục Oy.
Lời giải:
Đường thẳng d song song với trục Oy nên có vectơ chỉ phương u→ = (0; 1; 0). Tuy nhiên, vì thành phần x và z của vectơ chỉ phương bằng 0, chúng ta không thể viết phương trình chính tắc cho đường thẳng này. Thay vào đó, ta sử dụng phương trình tham số như ở ví dụ 1.
Ví dụ 3: Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng d (đi qua điểm M(3; 0; -2) và song song với trục Oy) với mặt phẳng (Oxy).
Lời giải:
Phương trình tham số của đường thẳng d là:
x = 3
y = t
z = -2
Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0. Để tìm giao điểm, ta thay z = 0 vào phương trình đường thẳng d:
3 = 3
t = t
-2 = 0 (vô lý)
Vì không có giá trị t nào thỏa mãn, đường thẳng d không cắt mặt phẳng (Oxy). Điều này là do đường thẳng d song song với mặt phẳng (Oxy).
C. Bài tập vận dụng viết phương trình đường thẳng song song trục Oy
Để củng cố kiến thức, hãy thử sức với các bài tập sau:
Câu 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm C(-4; 1; 0) và song song với trục Oy.
Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm D(0; -3; 7). Lập phương trình đường thẳng d đi qua D và song song với trục Oy.
Câu 3: Tìm giao điểm (nếu có) của đường thẳng d (đi qua điểm E(5; 2; -8) và song song với trục Oy) với mặt phẳng (Oxz).
Câu 4: Cho hai điểm F(1; 4; -2) và G(1; 7; -2). Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng FG và song song với trục Oy.
Câu 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với trục Oy.
Gợi ý giải:
- Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng (luôn là (0; 1; 0) nếu song song trục Oy).
- Sử dụng điểm đã biết và vectơ chỉ phương để viết phương trình tham số.
- Để tìm giao điểm với mặt phẳng, thay phương trình mặt phẳng vào phương trình đường thẳng và giải hệ phương trình.
D. Ứng dụng của phương trình đường thẳng song song với trục Oy
Phương trình đường thẳng song song với trục Oy có nhiều ứng dụng trong hình học giải tích và các bài toán liên quan đến vị trí tương đối của các đối tượng trong không gian. Ví dụ:
- Xác định khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng song song với trục Oy.
- Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm lên đường thẳng song song với trục Oy.
- Giải các bài toán liên quan đến tính đối xứng qua đường thẳng song song với trục Oy.
Alt text: Mô tả đường thẳng d song song trục Oy và điểm M trong không gian Oxyz, minh họa ứng dụng tìm hình chiếu vuông góc.
Kết luận
Việc nắm vững phương pháp viết phương trình đường thẳng song song với trục Oy là rất quan trọng trong chương trình hình học không gian lớp 12. Hy vọng rằng, với lý thuyết, ví dụ và bài tập vận dụng đã được trình bày, bạn sẽ tự tin hơn khi giải quyết các bài toán liên quan đến chủ đề này. Chúc bạn học tốt!
