1. Tổng Quan Lý Thuyết Hàm Số Lũy Thừa
Hàm số lũy thừa là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 12. Nắm vững lý thuyết và các dạng bài tập cơ bản về hàm số này sẽ giúp các em học sinh tự tin hơn khi đối mặt với các bài kiểm tra và kỳ thi quan trọng.
1.1. Định Nghĩa Hàm Số Lũy Thừa
Hàm số lũy thừa có dạng tổng quát:
Trong đó:
- x là biến số.
- a là một số thực (a ∈ R), được gọi là số mũ.
Tập xác định của hàm số lũy thừa phụ thuộc vào giá trị của số mũ a:
- a là số nguyên dương: Tập xác định D = R (tập hợp tất cả các số thực).
- a là số nguyên âm hoặc bằng 0: Tập xác định D = R {0} (tập hợp tất cả các số thực trừ số 0).
- a không phải là số nguyên: Tập xác định D = (0; +) (tập hợp tất cả các số thực dương).
Ví dụ:
- y = x² (a = 2, nguyên dương) => D = R
- y = x⁻¹ = 1/x (a = -1, nguyên âm) => D = R {0}
- y = x^(1/2) = √x (a = 1/2, không nguyên) => D = (0; +∞)
1.2. Đạo Hàm Của Hàm Số Lũy Thừa
Việc tính đạo hàm hàm số lũy thừa là một kỹ năng quan trọng. Công thức đạo hàm sẽ khác nhau tùy thuộc vào dạng của hàm số.
a. Đạo hàm với số mũ tổng quát
Hàm số có đạo hàm với mọi (0; +) và
Nếu hàm số nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng J thì hàm số cũng sẽ có đạo hàm trên J là:
b. Đạo hàm với số mũ nguyên dương
Khi a là số nguyên dương, tập xác định D = R và công thức đạo hàm được mở rộng:
- Với mọi
- Với mọi
Lưu ý: Trong đó, u(x) là một hàm số có đạo hàm trong khoảng J.
c. Đạo hàm với số mũ nguyên âm
Khi a là số nguyên âm, tập xác định D = R {0}, và công thức đạo hàm mở rộng:
- Với mọi
- Với mọi
Lưu ý: u(x) ≠ 0 và có đạo hàm trong khoảng J.
d. Đạo hàm của căn thức
Công thức đạo hàm của căn thức thường gặp:
và
1.3. Đồ Thị Hàm Số Lũy Thừa
Khảo sát hàm số trên tập (0; +) có dạng đồ thị như sau:
Đồ thị hàm số lũy thừa luôn đi qua điểm (1;1).
Lưu ý quan trọng: Khi khảo sát đồ thị hàm số lũy thừa, cần xét trên tập xác định của hàm số đó. Tập xác định có thể khác nhau tùy thuộc vào giá trị của số mũ a.
2. Các Dạng Bài Tập Về Hàm Số Lũy Thừa
Hiểu rõ lý thuyết là bước đầu tiên. Để nắm vững kiến thức, chúng ta cần luyện tập các dạng bài tập khác nhau. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp về hàm số lũy thừa:
2.1. Tìm Tập Xác Định Của Hàm Số Lũy Thừa
Để tìm tập xác định, cần xác định giá trị của a và áp dụng quy tắc tương ứng.
Các bước thực hiện:
- Xác định số mũ a của hàm số.
- Xác định điều kiện xác định dựa trên giá trị của a (sử dụng các quy tắc đã nêu ở phần 1.1).
- Giải bất phương trình (nếu có) để tìm ra tập xác định của hàm số.
2.2. Tính Đạo Hàm Của Hàm Số Lũy Thừa
Áp dụng các công thức đạo hàm phù hợp với từng dạng hàm số.
Các bước thực hiện:
-
Xác định công thức đạo hàm cần sử dụng.
-
Tính đạo hàm của các thành phần (nếu có hàm hợp). Sử dụng các công thức đạo hàm cơ bản (hàm đa thức, hàm phân thức,…).
-
Rút gọn (nếu có thể) để có kết quả cuối cùng.
2.3. Tìm Tính Chất Của Số Mũ Dựa Vào Đồ Thị
Dạng bài này yêu cầu khả năng đọc và phân tích đồ thị.
Các bước thực hiện:
- Quan sát đồ thị: Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.
- Xác định các điểm đặc biệt mà đồ thị đi qua.
- Dựa vào hình dạng đồ thị và các điểm đặc biệt để suy ra tính chất của số mũ (a > 1, 0 < a < 1, a < 0).
3. Bài Tập Vận Dụng Hàm Số Lũy Thừa
Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số
Giải: Số mũ a = 1/2 không phải là số nguyên. Vậy, điều kiện xác định là:
Vậy, tập xác định là D = (-∞; -3) ∪ (3; +∞).
Bài 2: Xét hàm số trên (0; +) có đồ thị như hình bên dưới. Tìm tính chất của số mũ n.
Giải: Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số nghịch biến trên (0; +∞). Vậy, 0 < n < 0.
Bài 3: Tìm đạo hàm của hàm số sau:
Giải: Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp:
Bài 4: Cho a, b là các số thực. Đồ thị hàm số trên khoảng (0; +) . Tìm tính chất của số mũ a và b.
Giải:
- Hàm số đồng biến trên (0; +) => a > 1
- Hàm số nghịch biến trên (0; +) => b < 0
Vậy, b < 0 < 1 < a.
4. Lời Kết
Hàm số lũy thừa là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 12. Bằng cách nắm vững lý thuyết, luyện tập các dạng bài tập và vận dụng kiến thức vào giải quyết các vấn đề thực tế, các em học sinh sẽ tự tin chinh phục các bài toán liên quan đến hàm số này. Chúc các em học tốt!
