Tam giác cân là một dạng hình học quan trọng và thường gặp trong chương trình Toán học. Bài viết này sẽ đi sâu vào bài toán về tam giác DEF cân tại D, với DI là đường trung tuyến, đồng thời mở rộng kiến thức và ứng dụng liên quan.
Bài toán: Cho Tam Giác Def Cân Tại D với đường trung tuyến DI.
a) Chứng minh ΔDEI = ΔDFI.
b) Xác định loại góc DIE và góc DIF.
c) Tính độ dài đường trung tuyến DI khi DE = DF = 13cm và EF = 10cm.
Lời giải chi tiết:
a) Chứng minh ΔDEI = ΔDFI
Để chứng minh hai tam giác DEI và DFI bằng nhau, ta sử dụng phương pháp chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (c.c.c).
Xét ΔDEI và ΔDFI có:
- DI là cạnh chung.
- DE = DF (giả thiết tam giác DEF cân tại D).
- IE = IF (vì I là trung điểm của EF, do DI là đường trung tuyến).
Do đó, ΔDEI = ΔDFI (c.c.c).
b) Xác định loại góc DIE và góc DIF
Vì ΔDEI = ΔDFI (chứng minh trên), suy ra góc DIE = góc DIF (hai góc tương ứng).
Mà góc DIE và góc DIF là hai góc kề bù, nên DIE + DIF = 180°.
Do đó, DIE = DIF = 180°/2 = 90°.
Vậy, góc DIE và góc DIF là các góc vuông.
c) Tính độ dài đường trung tuyến DI
Vì I là trung điểm của EF, nên IE = IF = EF/2 = 10cm/2 = 5cm.
Tam giác DIE là tam giác vuông tại I (chứng minh trên).
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông DIE, ta có:
DE² = DI² + EI²
Suy ra: DI² = DE² – EI² = 13² – 5² = 169 – 25 = 144
Vậy, DI = √144 = 12 cm.
Kết luận:
Trong tam giác DEF cân tại D, đường trung tuyến DI đồng thời là đường cao. Độ dài đường trung tuyến DI là 12cm.
Kiến thức áp dụng:
- Định lý Pitago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
- Tính chất tam giác cân: Hai cạnh bên bằng nhau, hai góc ở đáy bằng nhau. Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao, đường phân giác và đường trung trực.
- Các trường hợp bằng nhau của tam giác: cạnh-cạnh-cạnh (c.c.c), cạnh-góc-cạnh (c.g.c), góc-cạnh-góc (g.c.g).
Bài toán về tam giác DEF cân tại D là một ví dụ điển hình về việc áp dụng các kiến thức cơ bản để giải quyết các bài toán hình học. Việc nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong học tập.
