Phương Pháp Xác Định Tính Đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số
Để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số y = f(x) xác định trên K, ta dựa vào đạo hàm f'(x) như sau:
- Hàm số đồng biến trên K khi và chỉ khi f'(x) ≥ 0 với mọi x thuộc K.
- Hàm số nghịch biến trên K khi và chỉ khi f'(x) ≤ 0 với mọi x thuộc K.
Lưu ý quan trọng: f'(x) = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm hoặc vô số điểm rời rạc trên K. Điều này có nghĩa là hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm này, nhưng vẫn đồng biến hoặc nghịch biến trên toàn khoảng K.
Nhận biết nhanh qua đồ thị:
- Nếu đồ thị của f'(x) nằm hoàn toàn phía trên trục Ox trên khoảng K, thì f'(x) > 0 với mọi x thuộc K, suy ra hàm số f(x) đồng biến trên K.
- Nếu đồ thị của f'(x) nằm hoàn toàn phía dưới trục Ox trên khoảng K, thì f'(x) < 0 với mọi x thuộc K, suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên K.
Ví Dụ Minh Họa Về Hàm Số Đồng Biến, Nghịch Biến
Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (-1;0) B. (0; +∞) C. (-∞; -2) D. (0;1)
Giải thích:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy f'(x) > 0 trên khoảng (-∞; -1) và (0; 1). Do đó, hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng này. Đáp án đúng là D. (0;1).
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -1).
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0).
Giải thích:
Quan sát bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1). Vậy đáp án đúng là C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1).
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có đạo hàm f'(x). Biết rằng hàm số f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (-∞; -1).
B. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (2; +∞).
C. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (-1; 2).
D. Cả B và C đều đúng.
Giải thích:
Dựa vào đồ thị, f'(x) > 0 trên khoảng (2; +∞) và f'(x) < 0 trên khoảng (-1; 2). Do đó, hàm số f(x) đồng biến trên (2; +∞) và nghịch biến trên (-1; 2). Đáp án đúng là D. Cả B và C đều đúng.
Bài Tập Trắc Nghiệm Về Hàm Số Đồng Biến, Nghịch Biến
Bài 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên R{-1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;-1).
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;+∞).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;+∞).
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;1).
Bài 2: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (-∞;0).
B. (-1;1).
C. (-1;0).
D. (1;+∞).
Bài 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:
Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?
i) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞;-5) và (-3;-2).
ii) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;5).
iii) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-2;+∞).
iv) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;-2).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Bài 4: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2;+∞).
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (3;+∞).
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;1).
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;3).
Bài 5: Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị hàm số y = f'(x) là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (1;2).
B. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (0;2).
C. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-2;1).
D. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (-1;1).
Bài 6: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) xác định, liên tục trên R và f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số f(x) đồng biến trên (-∞;1).
B. Hàm số f(x) đồng biến trên (-∞;1) và (1;+∞).
C. Hàm số f(x) đồng biến trên (1;+∞).
D. Hàm số f(x) đồng biến trên R.
Bài 7: Hình bên là đồ thị của hàm số y = f'(x). Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (2;+∞).
B. (1;2).
C. (0;1).
D. (0;1) và (2;+∞).
Bài 8: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R và có đồ thị của đạo hàm y = f'(x) như hình bên dưới. Chọn phát biểu đúng khi nói về hàm số y = f(x).
A. f(0) < f(3).
B. f(0) = f(3).
C. f(0) > f(3).
D. Không so sánh được.
Bài 9: Hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) trên R. Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số f'(x) trên R. Chọn đáp án đúng.
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (-2;+∞).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;-1).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;+∞).
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;2).
Bài 10: Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số y = f(2 – x) đồng biến trên khoảng:
A. (1;3).
B. (2;+∞).
C. (-2;1).
D. (-∞;2).
Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu như sau:
Hỏi hàm số y = f(x² – 2) đồng biến, nghịch biến trên khoảng nào?
Bài 2. Cho hàm số y = f(x). Biết rằng hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình dưới đây. Hỏi hàm số g(x) = f(1 – 2x) đồng biến trên khoảng nào?
Bài 3. Cho hàm số y = f(x). Biết rằng hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình dưới đây. Hỏi hàm số g(x) = 2f(x) + (x + 1)² đồng biến, nghịch biến trên khoảng nào?
Bài 4. Cho hàm số y = f(x). Biết rằng hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình dưới đây. Hỏi hàm số g(x) = f(1 – 2x) + x² – x nghịch biến trên khoảng nào?
Bài 5. Cho hàm số y = x³ + 3x² – 9x – 7. Vẽ đồ thị hàm số và xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên ℝ?
Chúc các bạn học tốt và nắm vững kiến thức về hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng!
