Trong toán học, đặc biệt là trong số học, ký hiệu “≡” được sử dụng để biểu thị một quan hệ rất quan trọng gọi là đồng dư. Vậy “≡” là gì? Bài viết này sẽ giải thích chi tiết về khái niệm đồng dư, các tính chất và ứng dụng của nó.
Phép lấy phần dư (Modulo)
Để hiểu rõ về đồng dư, trước tiên cần nắm vững khái niệm phép lấy phần dư. Cho hai số nguyên (a) và (b) (với (b neq 0)), ký hiệu (a bmod b) (đọc là “a modulo b”) là số dư khi chia (a) cho (b).
Ví dụ:
- (30 bmod 7 = 2) (vì 30 chia 7 dư 2)
- (10 bmod 2 = 0) (vì 10 chia 2 dư 0)
- (-12 bmod 5 = 3) (vì -12 chia 5 dư -2, và -2 + 5 = 3, ta thường chọn số dư dương)
Định nghĩa Đồng dư
Cho số nguyên (n > 1) và hai số nguyên (a) và (b), ta viết (a equiv b pmod n) (đọc là “a đồng dư với b modulo n”) nếu (a) và (b) có cùng số dư khi chia cho (n).
Ví dụ:
- (12 equiv 7 equiv 2 pmod 5) (vì 12, 7 và 2 đều chia 5 dư 2)
- (-3 equiv 2 pmod 5) (vì -3 và 2 đều chia 5 dư 2)
Như vậy, (a equiv b pmod n iff a bmod n = b bmod n). Điều này có nghĩa là (a – b) chia hết cho (n).
Lớp đồng dư
Ký hiệu (bar{a}_n) là tập hợp tất cả các số đồng dư với (a) modulo (n):
[bar{a}_n = {x mid x equiv a pmod n }]
Tập hợp tất cả các lớp đồng dư modulo (n) được gọi là vành các số nguyên modulo (n), ký hiệu là (mathbb{Z}/n):
[mathbb{Z}/n = {bar{0}_n, bar{1}_n, bar{2}_n, …, overline{n-1}_n}]
Ví dụ:
(bar{8}_5 = bar{3}_5 = {dots,-7, -2, 3, 8, 13,dots}\ mathbb{Z}/5 = {bar{0}_5, bar{1}_5, bar{2}_5, bar{3}_5, bar{4}_5})
Phép toán trên vành modulo và các tính chất quan trọng
Trong vành các số nguyên modulo (n), ta có thể thực hiện các phép toán cộng, trừ và nhân. Các phép toán này được định nghĩa như sau:
- (bar{a}_n + bar{b}_n = overline{a + b}_n)
- (bar{a}_n – bar{b}_n = overline{a – b}_n)
- (bar{a}_n cdot bar{b}_n = overline{a cdot b}_n)
Ví dụ:
(bar{6}_{10} + bar{8}_{10} = overline{6 + 8}_{10} = overline{14}_{10} = bar{4}_{10}). Điều này có nghĩa là “số chia 10 dư 6” cộng với “số chia 10 dư 8” sẽ cho kết quả là “số chia 10 dư 4”.
Ta cũng có thể sử dụng ký hiệu đồng dư để viết: (6 + 8 equiv 14 equiv 4 pmod{10})
Ký hiệu (equiv) có các tính chất tương tự như dấu (=):
- Tính phản xạ: (a equiv a pmod n)
- Tính đối xứng: Nếu (a equiv b pmod n) thì (b equiv a pmod n)
- Tính bắc cầu: Nếu (a equiv b pmod n) và (b equiv c pmod n) thì (a equiv c pmod n)
Ngoài ra, nếu (a equiv b pmod n) thì ta có các tính chất sau:
- (-a equiv -b pmod n)
- (a + k equiv b + k pmod n) với mọi số nguyên (k)
- (ka equiv kb pmod n) với mọi số nguyên (k)
- (a^k equiv b^k pmod n) với mọi số nguyên dương (k)
- Tổng quát, nếu (p(x)) là một đa thức với hệ số nguyên, thì (p(a) equiv p(b) pmod n)
Ngược lại:
- (a + k equiv b + k pmod n iff a equiv b pmod n)
- Nếu (ka equiv kb pmod n) và (k) nguyên tố cùng nhau với (n) thì (a equiv b pmod n) (Tính chất này rất quan trọng trong việc giải các phương trình đồng dư)
Nếu (a_1 equiv b_1 pmod n) và (a_2 equiv b_2 pmod n) thì:
- (a_1 + a_2 equiv b_1 + b_2 pmod n)
- (a_1 – a_2 equiv b_1 – b_2 pmod n)
- (a_1 a_2 equiv b_1 b_2 pmod n)
Ví dụ ứng dụng của toán đồng dư
Toán đồng dư có rất nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các lĩnh vực khác của toán học. Một ví dụ điển hình là chứng minh tính chia hết của một số.
Ví dụ: Chứng minh rằng một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.
Xét số (A) có (n) chữ số trong hệ thập phân: (a_0, a_1, a_2,dots,a_{n-1}), ta có:
[A = a_0 + 10 a_1 + 10^2 a2 + dots + 10^{n-1} a{n-1}]
Theo đề bài, (A) chia hết cho 3, có nghĩa là: (A equiv 0 pmod 3)
Tương đương với:
[a_0 + 10 a_1 + 10^2 a2 + dots + 10^{n-1} a{n-1} equiv 0 pmod 3]
Vì (10 equiv 1 pmod 3), ta có thể thay 10 bằng 1 trong biểu thức trên:
[a_0 + 1 a_1 + 1^2 a2 + dots + 1^{n-1} a{n-1} equiv 0 pmod 3 iff a_0 + a_1 + a2 + dots + a{n-1} equiv 0 pmod 3]
Vậy, số (A) chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.
Kỹ thuật tương tự có thể được sử dụng để chứng minh các quy tắc chia hết khác, chẳng hạn như quy tắc chia hết cho 9.
Hiểu rõ về khái niệm đồng dư (≡) và các tính chất của nó là rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực của toán học và khoa học máy tính, đặc biệt là trong lý thuyết số, mật mã học và khoa học máy tính.
